LIVRE TROISIÈME. -APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

traire, on peut la remplacer par une infinité d'autres, et substituer par là, à la surface 1, une infinité d'autres surfaces réglées n'ayant de commun avec elles que les génératrices extrêmes. Sur chacune de ces surfaces la courbe normale aux génératrices, et partant du point M, ira généralement couper A'B' en un point différent, on devrait, par conséquent, assigner une infinité de positions différentes à l'intersection de la droite A'B' avec la surface S, et il faut en conclure que cette surface ne peut exister.

Condition nécessaire pour que la surface existe.

648. Les droites qui composent un faisceau doivent, d'après ce qui précède, remplir certaines conditions pour qu'il existe une surface qui les coupe à angle droit. Nous allons chercher l'expression analytique de cette condition.

Considérons chacune des droites qui composent un faisceau comme issue du point où elle rencontre une surface donnée, choisie d'ailleurs d'une manière quelconque. Soient x, y, z les coordonnées de l'un de ces points de départ, et X, Y, Z les cosinus des angles formés avec les axes par la droite correspondante. Le point X, /, z étant sur une surface donnée, z est une fonction connue de x et de y, nous supposerons que X, Y et Z soient également donnés en fonction des mêmes variables. Si sur chacune des droites du faisceau on porte, à partir du point de départ, une longueur /, variable d'un point à l'autre, les coordonnées ^,,j,, z^ de son extrémité seront

et pour que la surface, lieu des points a?,, Ji» -o coupe normalement toutes les droites considérées, on doit avoir

(2) Xf/^i H-Yc?/, +Zc^z, = 0.

Cette équation exprime en effet que la direction qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont X, Y, Z est perpendiculaire à celle qui forme les angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ , dy^ ^ dz^. Les équations (i) donnent

rf;c, = c?^ 4- / rf X -f- X c?/,

(3) dy, = dy-\-ld\-\-YdU

dz, = dz^ldZ -\-ldl,

et, en ayant égard aux relations évidentes

on en déduit

(4) X dx,+\df, 4- Z dzt = \ dx + Y dx + Z dz -h dl;

l'équation de condition (2) équivaut, par conséquent, à

(5) dl = — {\d.T-hYdx-hZdz).

L'équation de la surface, lieu des points x,y, z, donne une relation de la forme

dz =pdx + qdy,

peiq étant des fonctions connues de x et de j; l'équation (5) devient, par conséquent,

(6) dl = — {X-hpZ)dx — {Y + qZ)dx,

elle équivaut à

et comme on a, quelle que soit la fonction désignée par /,

d'I d'I dx dy djr dx

ces deux équations exigent la relation

d{\-hpZ)^d{Y-^qZ)^ ^ ' dy dx

X, Y, Z, p eiq étant, bien entendu, exprimés en fonction de x et j.

L'équation (8) exprime une condition nécessaire à l'existence d'une surface normale aux droites données. Nous verrons dans un autre chapitre qu'elle est suffisante pour assurer l'existence de la fonction /définie par les équations (7). Cette équation (8) résout donc le problème que nous nous étions proposé, mais elle peut, comme nous allons le montrer, recevoir une forme plus simple et une interprétation géométrique qui joue un grand rôle dans la théorie des surfaces.

649. Lorsque le faisceau de droites que l'on considère est donné, la surface, à partir de laquelle on considère ces droites comme issues, est complètement arbitraire et n'influe évidemment en rien sur l'existence ou la non-existence d'une surface coupant le faisceau orthogonalement. Pour interpréter l'équation (8), sup-