LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
posons que la surface arbitraire que l'on peut nommer surface initiale, soit normale à l'une (les droites du faisceau que nous supposerons de plus parallèle à l'axe des Z ; on aura alors, pour cette droite et pour son point de départ situé sur la surface arbitraire qui la coupe à angle droit,
l'équation (8) devient alors, en ce point,
dX dp dY dq df dy dx dx
et comme on a toujours -f- z= -^ -, elle se réduit à '• df dx
dy
dx
Soit MN la droite considérée parallèle, par bypothèse, a l'axe desZ. X étant égal à zéro, le numérateur du quotient -7- est la valeur infiniment petite que prend X
lorsque le point de départ M se déplace infiniment peu parallèlement à l'axe des Y.
dY i.e numérateur de -ir- est, pour la même raison, la valeur infiniment petite que
prend Y, lorsque le point M reçoit un déplacement dx parallèle à l'axe des X. Considérons donc deux .droites infiniment petites de même longueur, MA, MB, issues du point M et parallèles, l'une à l'axe des X, l'autre à l'axe des Y;
l'équation (2) exprime que la droite AN,, issue du point A, fait avec l'axe des Y le même angle que la droite BN2 forme avec l'axe des X : en d'autres termes, car évidemment cela revient au même, la droite issue de A forme avec le plan NMA le même angle que la droite issue de B avec le plan NMB. De plus, les cosinus des angles formés par la première droite avec MB, et par la seconde avec MA, étant égaux et de mêmes signes, les deux droites sont toutes deux situées dans l'angle dièdre BMA, ou toutes deux en dehors. Les axes de coordonnées étant arbitraires, et la condition trouvée étant la traduction de l'équation qui exprime l'existence d'une
(>T6 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
surface normale aux droites considérées, on voit que si la condition précédente est satisfaite pour les deux droites MA, MB, elle le sera, par cela même, pour deux autres directions quelconques perpendiculaires entre elles et à MN.
Supposons que les deux droites issues des points A et B, et dirigées d'un même côté de la surface initiale, soient l'une et l'autre dans l'intérieur du dièdre AMB, si la droite infiniment petite MA tourne autour de M pour venir coïncider avec MB, son extrémité se déplacera sur le quart de cercle passant par le point A, et la droite issue de cette extrémité, qui d'abord était AiN, , finira par coïncider avec BNo : -or il faut évidemment pour cela qu'elle traverse le plan passant par MN et par son point de départ, et il existe par conséquent sur le quart de cercle un point C tel, que la droite issue de G soit située dans le plan MNC. Si l'on considère une droite infiniment petite MD égale à MC, et perpendiculaire à MC etàMN, celle des droites du faisceau qui part du point D forme avec le plan MND le même angle que celle qui part du point C forme avec MNC, c'est-à-dire un angle nul. 11 existe donc, dans le voisinage de chaque droite MN, deux autres droites appartenant au faisceau et situées dans deux plans perpendiculaires passant par MN.
Ce théorème, découvert par Monge, joue un rôle important dans la théorie des surfaces.
650. Nous allons vérifier directement que les normales à une surface quelconque remplissent la condition qui vient d'être trouvée, et donner en même temps une expression plus précise de la loi suivant laquelle elles sont distribuées autour de l'une quelconque d'entre elles.
Considérons une surface quelconque rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires et représentée par une équation
Posons, conformément à notre notation habituelle,
dz dz dp dp dq dq
dx '^' df ^' dx ' df dx ' dy
en nommant I, rjy Ç les coordonnées courantes, les équations d'une normale sont
Prenons pour origine un point 0 de la surface, et pour axe des Z la normale en ce point; x,y, z, /?, q étant nuls au point 0, les équations de la normale en ce point se réduiront à
