LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Soient .x^, y^, s,, les coordonnées d'un point 0, delà surface, infiniment voisin de 0 ; /? et ^ étant nuls en 0, les valeurs p^ , q^ de ces dérivées correspondantes nu point 0, sont, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

dp dp

dq dq

les équations de la normale en ce point sont par conséquent

l — x^-^-{rx,-\-sy\) {'<^ — z,)=o, (3) V

r,—x,-^{sx, 4- fj,)(^ — ^,) = o,

en nommant a l'angle que le plan ZOO, forme avec ZOX et è la distance 00, , on a, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,

^, =âcosa,

ji = ôsina.

La normale en 0, peut être définie par l'angle infiniment petit qu'elle forme avec la projection sur le plan ZOO,, et par l'angle w que fait cette projection avec l'axe des Z; le premier angle 0 est le complément positif ou négatif de l'angle formé par la normale en 0, avec la perpendiculaire au plan ZOO, menée par le point 0 dans le plan 0,0X. Or en nommant X l'angle de la normale en 0, avec l'axe des Z, les cosinus des angles qu'elle forme avec les axes des X et des Y sont, d'après les équations de cette droite,

— cosl{rXi + s}\), — cosXf^^, -h/j, ),

— ôcos>(rcosa-4-5 sin a), — ô cosX(5COS a-h ; sin a),

la perpendiculaire au plan ZOO, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont

sin a, — ces a. ;

donc, d'après la formule qui donne le cosinus de l'angle de deux droites, et en négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de supposer cos l — i, l'angle B formé par la normale en 0,, avec le plan ZOO,, est donné par la formule

sin 0 = ô [( f — r) sin « cos a -h 5 ( cos^ a — sin= «)] ,

ou, en substituant l'arc infiniment petit à son sinus, '

(^) Q = -à[[t — r) sin2a-i-2iC0S2a].

Si l'on substitue k la direction 00, une direction perpendiculaire OO2, il faut changer dans les formules aena-h -; sin 2« et cos2« changent alors de signe en

conservant même valeur absolue, et par conséquent, en conservant bien entendu la même valeur à â, l'angle 6^ relatif au point O2 est égal et de signe contraire à l'angle ^1 relatif au point 0,.

La valeur de a pour laquelle ô^ est égal à zéro est donnée par l'équation

{i — r) sin 2a-f- 2 5 ces 2a = o, ou

(6) tangaa

Il existe donc deux directions perpendiculaires pour lesquelles l'angle 5 est égal à zéro, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Pour toute direction faisant avec celle-là un angle fini, cet angle est infiniment petit du premier ordre.

Si l'on a pris, tout d'abord, l'axe des X et celui des Y dans les directions 00, , OO2, pour lesquelles l'angle désigné par 0 est égal à zéro, l'équation

lang ix

aura pour solution a = o, a= -5 et l'on doit avoir, par conséquent, 5 = 0. On a

vu (627) que les axes pour lesquels cette condition est remplie sont tangents aux sections principales. Nous retrouvons ainsi le résultat déjà obtenu (636) : la normale en un point d'une surface est rencontrée par la normale au point infiniment voisin situé sur l'une des sections principales; ce théorème supposant toujours que l'on néglige les infiniment petits du second ordre.

En adoptant les axes tangents aux sections principales, pour lesquels, comme on vient de le rappeler, la valeur de s est nulle, l'expression de l'angle 0 se simplifie et l'on a

(7) 6= - ô(/ — r)sin2a.

651 . La direction de la normale à la surface considérée en un point 0< infiniment voisin de 0, peut être, comme on l'a dit, définie par deux angles. Le premier est l'angle Q formé par cette normale 0,N avec le plan ZOO, qui passe par son point de départ et par la normale OZ. Nous venons d'en calculer l'expression générale. Le second des deux angles est l'inclinaison sur OZ de la projection de la normale en 0, sur le plan ZOO,. Pour obtenir ce second angle que nous nommons 00, re-