LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

marquons que tang w est rigoureusement égale au cosinus de l'angle que 0, N forme avec OOo divisé par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec OZ. Si l'on prenait en effet ZOO, pour plan des ZX et pour axe des X la tangente en 0 à l'arc infiniment petit 00,, les coordonnées de 0, étant x^, o et z^, la projection sur le plan des XZ de la normale issue du point 0, aura pour équation

(i) • X — .r, = langw(Z — 2,);

on en déduit

(2) • tang 0) = T^— -^ ,

et comme les coordonnées X et Z de la projection d'un point de la normale sur le

plan des XZ sont les mêmes que celles de ce point lui-même, le rapport 7^ '■ est,

comme on l'a annoncé, le rapport des projections d'une portion de la normale sur l'axe des X et sur celui des Z, c'est-à-dire le rapport des cosinus des angles formés par cette normale avec les deux axes; remarquons que dans la formule précédente, l'angle w désigne l'angle de l'axe des Z positifs avec la portion de la projection dirigée vers la région desX positifs. Si donc OZ représente l'axe des Z, et O.N la projection

de la normale sur le plan ZOO,, la valeur de tang w formée par la formule {1) sera négative, et si nous désignons par w l'angle infiniment petit que l'on veut étudier, il faudra changer le signe de l'expression. L'angle de la normale avec OZ est infiniment petit, le cosinus de cet angle qui forme le dénominateur de la valeur de tang w peut donc être remplacé par l'unité, et comme le numérateur est infiniment petit, l'erreur commise ne portera que sur les infiniment petits du second ordre. En substituant en même temps à l'angle w sa tangente, et faisant le changement de signe indiqué plus haut, nous aurons

c, = cos(O.N, 0,0).

Pour calculer ce cosinus, remarquons que d'après les équations de la normale 0, N, et en nommant, comme plus haut, X l'angle de cette normale avec l'axe des Z, les cosinus des angles qu'elle forme avec les trois axes sont, comme on l'a déjà dit (650), et en désignant par c? la distance infiniment petite 00,,

— ôcosX(/'COSa -I- 5sin a), — ô ces >. («cos a-f-- / sin a), cos>,

les cosinus des angles formés par 0, 0 avec les mêmes axes sont

— ces a, — sin a et o;

on a, par conséquent,

0) = CCS OOiN = ô ces ?>(/'C0S^a-f-2 5 sin a ces x-\- t sin' a),

1 étant infiniment petit, on peut, dans cette formule, et en négligeant seulement les infiniment petits du second ordre, remplacer cos X par l'unité. Si de plus on suppose les axes tellement choisis, que la dérivée s soit égale à zéro, on aura enfin

(3) 00 = ô(rcos- a-h f sin'a).

Le rapport - ne diffère pas de l'expression trouvée (627) pour la courbure de la

section faite dans la surface par le plan normal Z00< . Il est aisé de voir en effet que la projection de la normale enO, sur le plan ZOO,, est précisément la normale à la courbe d'intersection de ce plan avec la surface. L'angle w que cette normale fait avec OZ est donc la courbure totale de l'arc infiniment petit dont la longueur esta,

et r représente la courbure. Nous aurions pu, d'après cela, nous dispenser de calculer l'angle w et écrire immédiatement l'équation (3), comme conséquence des formules relatives à la courbure des sections normales.

652. L'angle formé par la normale OZ au point 0, avec la normale au point infiniment voisin 0, , se déduit aisément des deux angles désignés par ô et o), qui sont actuellement connus. Si, en effet, par un point de l'espace on mène trois droites respectivement parallèles à la normale OZ, à la normale 0,N, et à la projection deO,N sur le plan ZOO,, ces trois droites forment un trièdre rectangle auquel correspond un triangle sphérique rectangle infiniment petit, que l'on peut regarder comme rectiligne et dans lequel le carré de l'hypoténuse est égal, par conséquent, à la somme des carrés des deux autres côtés. Or l'hypoténuse mesure l'angle que nous cherchons, et les deux côtés représentent les angles désignés par Q et w; on a, par conséquent, en nommant ^ l'angle des deux normales,

vL'== 0'rf-co' = (5-(rcos'a + f sin'a)'+(/ — rpo^* sin' a cos^ a,

c'est-a-dij^e •

telle est l'expression de l'angle ^ formé par deux normales infiniment voisines, les axes des X et des Y étant, on ne doit pas l'oublier, tangents aux sections principales,