COS

Ici il n'y a pas d'ambiguïté, et cela tient à ce que les arcs qui ont même tangente avant pour expression générale Kt:-!-», ils diffèrent les uns des autres par une partie constante, et ont tous même dérivée.

35. La considération des fonctions inverses permet de déduire l'une de l'autre les dérivées des fonctions a"" et log x, qui ont été trouvées séparément.

Si l'on a

x=a^, on en déduit

Par conséquent la dérivée de loga^ par rapport à x est l'inverse de celle de a^ par rapport à y, c'est-à-dire, les logarithmes étant pris dans la base a,

log^ __ loge a}' X

Dérivées des fonctions de fonctions.

36. Si la lettre u désigne une fonction donnée de la variable x, toute fonction de u sera une fonction de .r que Ton désigne sous le nom de fonction de fonction. L'origine de cette dénomination s'aperçoit immédiatement.

Ainsi donc si l'on a

y considéré comme dépendant de x est une fonction de fonction.

Nous allons montrer que si les fonctions 9 et F sont de telle nature qu'on sache former leurs fonctions dérivées, on pourra trouver aussi la dérivée de y par rapport à X.

Supposons, en effet, que l'on donne à x un accroissement ù^x et qu'il en résulte

pour u un accroissement \u, pour >• un acoroissemenl ly,

on a identiquement

\y Au A >•

A jr \x An

en passant à la limite, A^ tendant vers zéro, le premier membre de cette équation a, par définition, pour limite la dérivée de j par rapport à x, et les deux facteurs du second membçe tendent respectivement vers la dérivée de u par rapport à x, et vers celle de j par rapport à u. En désignant donc ces deux dérivées par (^' {x) et par F' (m), on voit que la dérivée de/ par rapport à x est

résultat que l'on peut énoncer de la manière suivante :

La dérivée d une fonction de fonction est le produit des dérivées des fonctions simples qui servent à la former, prises chacune par rapport à la imriahle dont elle dépend immédiatement.

Exemples. — Soit la fonction y = toi>> x = un i- - xy Cette expression peut être

considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,

on aura

>•= siH u.

L'application de la règle générale donne pour la dérivée de y par rapport à x

( — i)cosM:= — sin :r,

résultat conforme à ce qui a été trouvé (30).

Soit la fonction y = cota? = tang (- — iT j • En posant

ir

on aura

L'application de la règle donne pour la dérivée de j

Soit encore la fonction la:^^ Posons

L'application de la règle donne pour la dérivée dey

et, en effet, \.x^ étant égal à ^\x, il est clair que sa dérivée doit être égale à cinq fois celle de \.x.

37. Gomme dernier exemple, formons la dérivée de la fonction j=: x", m et n désignant des nombres entiers. Cette fonction peut être considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,

x'^ = u, on aura

En appliquant la règle générale et se rappelant les résultats obtenus (26), (34), on trouve pour la dérivée de y

r =mu'"-' -x"^ =i—x " x'* =L—x" > n n n

et par conséquent la dérivée de a;" s'obtient parla même formule que lorsque l'exposant— est entier.

38. On peut étendre la règle donnée pour former la dérivée d'une fonction de fonction à des expressions liées à la variable x au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires. Posons, en effet,

u = <^[x], v=-if{u), w=f[v), j=F(a^),

et cherchons la dérivée de y par rapport à x. Soient A a? un accroissement attribué à,r; Am, Ac, ^w, Ay, les accroissements correspondants de u, v, w, r : on a identiquement

A^ A/ Ao» Ac' A M ^x \w Av à.u A.r

et l'on voit que si ^x tend vers zéro, le premier membre a pour limite la dérivée de / par rapport à x, et les facteurs du second membre tendent vers les dérivées de y, w, V, u, prises, pour chacune d'elles, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement. On en conclut que la dérivée de j est le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions/, w, v, m, prises, pour chacune, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Dérivée d'un produit.

39. Soient u, v, w, des fonctions données d'une même variable x, nommons y leur produit dont on veut avoir la dérivée. On a

On en conclut, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,

lr=:lM -h If + lw,

et si l'on prend les dérivées des deux membres, on trouve, en appliquant la règle des fonctions de fonctions et désignant pary, u' , v', w', les dérivées de j, u, v, w.

d'où l'on déduit

r' =: ■- m' 4- - c^' H- — cv' = vwii' ■+- uwv' -\- avw' .

Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Dérivée d'un quotient.

4-0. Soient a etv' deux fonctions d'une même variable a:, nommons y leur quotient dont on veut avoir la dérivée. On a

on trouve, en prenant les logarithmes des deux membres,

\y = lu — If,

et si l'on prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment,

y II V d'où l'on déduit j,

yu' yv' un' — ui>'

Telleest la formule qui donne la dérivée d'un quotient-? lorsque l'on connaît les dérivées u' et v' de ses deux termes.

Dérivée d'une puissance ^

41. Soient u une fonction de œ, et m un exposant quelconque, positif ou négatif. Si l'on pose

en prenant les logarithmes des deux membres on en conclut,

et si l'on prend les dérivées des deux membres par rapport à x, on a, en adoptant toujours les mêmes notations,

y' mu'

d'où l'on déduit

myw ,

y^ = — : =:= mu"'~' u .

Remarque. — Si l'on suppose ii=za;, on aura w'=: i, et la formule précédente montre que la dérivée de la fonction x"" est mx""-* . Ce résultat avait été obtenu dans le cas d'un exposant entier (26) ou fractionnaire et positif (37). On voit qu'il est entièrement général, car la démonstration précédente s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m sans exception.

Dérivée de u .

42. Considérons enfin l'expression composée u", dans laquelle m et ^ désignent des fonctions de la variable x. Posons

En prenant les logarithmes des deux membres on en conclut

ly= v\u,

et si l'on prend les dérivées par rapport à x des deux membres de cette équation, en appliquant au second la règle donnée (39) pour la dérivée d'un produit, on a

jt u

d'où l'on déduit

Si l'on suppose, par exemple,

on aura

et la dérivée de af" est

x'^llx+i).

Quelque's applications .

43. Les résultats obtenus dans* ce chapitre permettent d'obtenir la dérivée, d'une fonction explicite formée d'une manière quelconque au moyen des opérations simples. 11 est important de se familiariser avec ces premiers principes que uous résumerons en en donnant quelques applications.

I» Dérivée de arc tang '^^J-^l.,^ — y

Posons

Za^x — x'^

on aura

j = arclangM,

et y est une fonction de fonction, dont la dérivée est le produit de ^-^^^ par la dérivée de u. Or en appliquant la règle (40) on trouve pour dérivée de u

d'ailleurs

I a?[a?—Zx''Y

la dérivée demandée est donc, toutes réductions faites,

Ce résultat était facile à prévoir, car les formules connues de la trigonométrie montrent que la fonction j est égale à 3 arc tang - et, en l'écrivant ainsi, on trouve immédiatement l'expression précédente pour dérivée.

3" Dérivée de i/ : — = y.

Considérant y comme la puissance - de la fraction — et traitant cette fonc-

^ * ?. I — sm X

tion par la règle donnée (41 ), on trouve pour dérivée de y

1 cos^fi — sin.rl -+-cos.r (n-sin.r) 9.cosx 1

/i + sin.r (i — sin^)2 ^j-j — sin^) v/(i — sin'.a;) i — sinx

' V ' — sin.x'

On peut parvenir au même résultat en remarquant que

1/ -. — =langU + - ;

or la dérivée de tang l-, + -] est essaie à' ^- -, et cette expression est

équivalente à celle qui précède.

3*^ Admettant la formule

n -{- i . nx

sm ^.sin —

sm.r +sm 2 ^ + . . . -4- s\nnx=

. oc sm -

en déduire l'expression de la somme

ces X H- 2C0S2;r -h . . . + n ces nx. Il suftit de prendre les dérivées des deux membres et l'on a

n-\-\ . X . in -\-i I . «4-1

sin - sm X sin^ x.

co^.r-t- 2C0S2^-h 3cos3,:r + . . .+ wcosAi.r=

sm^ —

- . . . , - . [fn — i)r\ sinm^ sin .r . sm ( .r + — ) sin ( jr + — ) . . . sm | .r -f- ^ — = — -^;^- ■>

[\^ En admettant la formule

i\n\ X -\ ) sin ( jr + "—]

\ mj \ m )

en déduire l'expression de la somme

cet X 4- cet ( ar H I -h ... -h cet ( X H | r

Il suffit de prendre les logarithmes, puis les dérivées des deux membres de l'équation ; on trouve

cot X -+- col ix-\-—\ H- ... 4- col ( X H '■ — TT ) = m col mx.

Emploi des dérwées pour l'étude des Jonctions .

4i. Lorsque l'accroissement infiniment petit d'une fonction est de même signe que celui de la variable, on dit que cette fonction est croissanle; elle est décroissantedansle cas contraire. En adoptant ces définitions et disant, par exemple, qu'une fonction est croissante, cela signifie évidemment croissante avec la variable.

Lorsqu'une fonction 9 (x) est croissante, sa dérivée est positive, car la fraction

ti ' — IS — L dont cette dérivée est la limite, est constamment positive; si la fonction (p (x) est au contraire décroissante, la dérivée est négative. Ces remarques évidentes sont souvent utiles dans l'étude des valeurs successives d'une fonction: nous en donnerons quelques exemples :

i** (>)nsidérons la fonction

sin.r

la dérivée est

.z'cos.ic — sin X

et comme, entre les limites ^ = o, ^c = -, on a toujours x < tang x, et par suite xco^x — sin X < o, cette dérivée est nésçative : la fonction est donc décrois-

santé ; et cette fonction étant d'ailleurs égale à l'unité pour a? = o, et à - pour x =^-->

elleest, pour toute valeur intermédiaire de x, plus petite que l'unité et plus grande

que -•

2*^ Soit la fonction

la dérivée est

Elle est négative pour les valeurs positives de x, la fonction est donc décroissante, et comme elle est nulle pour a; = o, on a pour toute valeur positive de x

l[i->t- x) — X <io.

3" Considérons enfin la fonction

dont la dérivée est

cette dérivée étant positive pour les valeurs positives de^, la fonction est croissante, et comme elle est nulle pour a? = o, elle est constamment positive et l'on a

en sorte que, pour toute valeur positive de £c, / ( i -h a?) est compris entre ^ et x ■>

on peut par conséquent le représenter par x — , 5 étant moindre que l'unité.

Ordre de grandeur d'une dérivée infiniment petite.

45. Considérons une fonction de x, cp {x), qui s'annule pour x = o. La dérivée 9' {x), pour la valeur zéro de la variable, est égale, par définition, à lim '^-^ — ,^ ^

c'est-à-dire à la limite du rapport — — -■ Elle est nulle par conséquent toutes les

fois que pour de très-petites valeurs dex, <p [x) est infiniment petit d'ordre supérieur a celui de x.

On peut aller plus loin : lorsque x étant infiniment petit du premier ordre, 9 (x) est infiniment petit de l'ordre n, ç' {x) est infiniment petit d'ordre /i — i . On peut en effet, dans ce cas, représenter cp{x) de la manière suivante:

A étant une constante et s une fonction de x qui s'annule avec la variable. On aura par suite, en nommant s' la dérivée de s,

(2) ^' [x]= nx"-' ( A -t- £ ) 4- X" i' .

Or je dis que xî tend vers zéro. Cela est évident lorsque s' ne croit pas indéfiniment. Examinons donc seulement le cas où s' est infini lorsque x est nul; considérons la courbe dont l'équation esty = c, cette courbe passe par l'origine et est en ce point tangente à l'axe des y.

LIVRK l'UlvMlER. - ÉTUDK DKS DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. U

Soient MT la tangente à cette courbe en un point M infiniment voisin de 0, et MQ l'abscisse du point M. s' est la tangente de l'angle QMT, donc oce' est égal à QT, il est, par suite, moindre que QO, c'est-à-dire moindre que s; s tendant vers zéro avec X, il en est donc de même de xz'. D'après cela ^"s est infiniment petit par rapport k x"~*, et l'expression (2) de <p' {x) est un infiniment petit de l'ordre

n — i. On voit aussi que le rapport —„z.t ^ pour limite nA.

Celte remarque a été utilisée par M. 0. Bonnet dans la démonstration de plusieurs propositions importantes dont nous parlerons plus tard.

Différentielle d' une fonction d'une seule variable.

46. Si l'on représente par © (x) une fonction de la variable x, et par <^' [x ] sa dérivée, on a

/ (^1 =:= lim

fSf [x + h ) —

h étant infiniment petit. Par conséquent, en désignant par s un autre infiniment petit,

<i^[x + li) — ii([x)-= li[^' [x] + z]=: li^' [x) + liz;

©' {x) étant une quantité finie, hz est infiniment petit par rapport à Atp' [x], et la différence (^ [x -\- h) — (^ [x) est égale à /<©' [x], en négligeant une portion infiniment petite de sa valeur.

Le produit A (p' [x) peut par conséquent (llj, lorsque h est infiniment petit, être substitué à l'accroissement «p [x -\-h) — ^ {oc), dans tout problème où il s'agit de calculer un rapport ou une somme d'infiniment petits; on donne à ce produit le nom de différentielle de (ç{x) et on le- représente en écrivant la lettre d devant la fonction.

Conformément à cette notation, la différentielle de x se confond avec l'accroissement même de cette variable, puisque la dérivée est dans ce cas égale à l'unité. En substituant donc, à la lettre h, l'expression équivalente dx, la différentielle d'une fonction ç; [x) prendra la forme

d .loix) = f'A^sè ) dx.

C'est celle dont nous ferons babituellement usage.

Cette différentielle </. 9 (ic) n'est pas, ainsi qu'on l'a expliqué, rigoureusement égale à l'accroissement de (p (x), mais elle peut le remplacer lorsqu'il est infiniment petit, et il n'en résulte aucune erreur sur les limites des sommes ou des rapports dans lesquelles il figure.

47. La représentation géométrique des résultats ajoutant presque toujours à la L ' 6

clarté, il est bon d'indiquer ici la signification géométrique de la différentielle. Considérons la courbe dont l'équation en coordonnées rectilignes est

le coefficient angulaire de la tangente au point dont les coordonnées sont x ai y est (24) (p' [x), et l'équation de la tangente, en nommant t ç^iu les coordonnées courantes de cette droite, c'est-à-dire les coordonnées de l'un quelconque de ses points,

Si donc, à partir du point de contact dont les coordonnées sont x et j, on attribue à l'abscisse d'un point de la tangente un accroissement t — x=.h, l'accroissement correspondant de l'ordonnée est

et la différentielle A 9' (a?) est l'accroissement de l'ordonnée/, correspondant à un accroissement A de l'abscisse, lorsqu'on substitue à la courbe sa tangente. Lors donc qu'on remplace l'accroissement © [x -h h) — cp [x], de la fonction cp [x], par la différentielle (p' [x) A, cela revient à remplacer un arc de courbe infiniment petit par sa tangente. Ces deux substitutions sont équivalentes, et permises dans les mêmes circonstances.

48. La différentielle d'une fonction (p {x), étant, d'après ce qui précède, le produit de la dérivée (p' (x) par l'accroissement dx de la variable, il semble que l'emploi de la différentielle, identique au fond à celui de la dérivée, ne pourra présenter aucun avantage spécial, si petit qu'il soit.

La remarque suivante montrera pourtant qu'il en est autrement et que l'emploi des différentielles peut être plus commode que celui des dérivées.

De la relation

on déduit *

(A) dy== n/ [x] dx,

dx est arbitraire, dy l'est donc également; le rapport -^ est seul déterminé et égal

à la dérivée 9' [x), on peut donc dire que :

y étant une fonction de x, l'une des différentielles dy et dx est arbitraire, et son rapport à la seconde est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x et y.

Or cette définition, évidemment équivalente à celle que nous avions adoptée d'à-

bord, a l'avantage très-réel que les deux quantités, a7etj, y figurent absolument de la même manière. Donnons sur ce point quelques développements.

Si y est une fonction de x, x est, par cela même, une fonction de y, et rien n'oblige à prendre l'une de ces variables plutôt que l'autre, ou que toute fonction de l'une et de l'autre pour variable principale. Or l'emploi des dérivées exige absolument que l'on fasse un pareil choix, parce que la dérivée n'a de sens déterminé que lorsqu'on indique quelle est la variable dont on prend la dérivée et la variable principale par rapport à laquelle on la prend. Si l'on considère au contraire la différentielle de y définie par la relation

( A ) dy^v/' [x] dx,

cette équation nous fait connaître le rapport des différentielles dy et dx, c'està-dire celui des accroissements infiniment petits que l'on peut simultanément attribuer à a? et à j ; l'une de ces différentielles est arbitraire, mais rien n'indique que ce soit dx plutôt que dy, la relation (A) pouvant aussi bien s'écrire

dx = —, dr,

et donnant, sous cette forme, la différentielle de la variable x considérée comme fonction de la variable y et correspondant à une valeur arbitraire de dy.

Il y a plus : la différentielle d'une fonction reste la même, quelle que soit la variable par rapport à laquelle cette fonction soit exprimée. Soit en effet

une fonction de u dans laquelle la lettre u désigne elle-même une fonction de x,

La différentielle dej, en considérant/ comme fonction de x, est le produit de dx par la dérivée de y (36), ^' {u) (p' (x), on a donc

dy = y{u)^'{x)dx.

Or la différentielle de j, considérée comme fonction de u, est

dy=:-^' [u] du,

ce qui est précisément la même chose, pourvu que, dans cette dernière équation, on remplace la différentielle du par la valeur

du:= o' [x] dx,

qui résulte de la détinition même,' lorsque u est considéré comme fonction de x]

On voit dans ce cas, comme dans le précédent, que x, y, u, désignant trois variables susceptibles de s'exprimer au moyen de l'une d'entre elles, les relations

du=:<f' [x)dx, dy^=^' [u)du,

qui lient les différentielles dx, dy, du, laissent l'une de ces différentielles arbitraire, et font connaître seulement les rapports des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x, y, et u, rien d'ailleurs n'imposant l'obligation de choisir l'une d'elles pour variable principale de préférence à une autre.

49. La même remarque s'étend à un nombre quelconque de variables x, y, z, a, V, w, pourvu qu'elles soient tellement liées, qu'on puisse les considérer comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Si l'on calcule dy, dz, du, dv, dw, en considérante comme variable principale, on obtiendra des résultats de la forme

dy=ydx, dz= z'dx, du = n' du, dv=:v'dx, div = iv' dx,

ou, ce qui revient au même,

dy dz du dif dw dx

et l'on pourra, sans nouveau calcul, adopter une nouvelle variable principale, u par exemple, les rapports des différentielles dy, dz, du, dv, dw, dx, resteront les mêmes, il suffira de regarder du, et non plus dx, comme recevant une valeur arbitraire.

Pour calculer les dérivées des diverses variables prises par rapport à la variable principale u, il suffit de diviser par du les différentielles de ces mêmes variables. Les dérivées sont par conséquent

dy^/^

dz z'

dv v'

dw «''

dx I

du m''

du u'

du u'

du u' '

du u'

ces résultats sont parfaitement d'accord avec ceux que l'on déduirait de la théorie des fonctions de fonctions.

Dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables.

50. Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables indépendantes les unes des autres, on peut en prendre la dérivée par rapport à l'une quelconque de ces variables, en considérant dans cette opération toutes les autres comme des constantes. Une dérivée prise de cette manière se nomme une dérivée partielle .

' La recherche d'une dérivée partielle se fait absolument comme celle de la dérivée d'une fonction d'une seule variable et n'exige aucune explication nouvelle.

Si 9 {^,y, Z-) est une fonction de trois variables a;, j, z, les dérivées partielles par rapport à ces trois variables s'écrivent de la manière suivante :

(l çp d 'il fi © dx df dz

Le sens qu'il faut attacher à ces expressions résulte de ce qui précède, -j^ est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de 9 à l'accroissement correspondant de 00, lorsque y eiz restent constants ; de même, dans le calcul de ~-y scet z

sont tous deux constants, ^ et/ le sont dans le calcul de^-

51. La fonction considérée cp restant la même, peut être exprimée d'une infinité, de manières différentes, car on peut substituer aux variables oc, y, z, trois variables nouvelles qui en soient des fonctions déterminées. En posant, par exemple,

la fonction 9 pourra être exprimée au moyen de u, ç, w, et il y aura lieu de considérer les dérivées partielles -r-^ '-?■'> -r~- Nous verrons plus loin le moven de les cal- * du dv dw '

culer sans qu'il soit nécessaire de former explicitement l'expression nouvelle de la fonction «p. Mais il est bon de remarquer dès à présent que, pour déterminer la

valeur de -7^. il ne suffit pas de connaître la fonction cp et la variable u. Cette dérivée du' ^ '

dépend aussi du choix des deux autres variables v et w que l'on adjoint à u pour

exprimer <p, et qui doivent rester constantes dans la différentiation.

Considérons, par exemple, la fonction

on a

Posons

9 prend la forme

= x''- [x -\-f -\- z) yz