X -\-y+ z^u, yz = v
(p =z x'^UV,
et SOUS cette forme on a .
-j-^ = -?. xuv = 2 X [x -\- y -ir z) yz.
On voit donc que la même fonction 9 peut avoir, par rapport à la même variable x, des dérivées partielles très-différentes, et que ces dérivées dépendent du choix des variables que l'on adjoint à x pour exprimer 9 et qui restent constantes dans l'opération.
52. L'exemple précédent ne peut laisser aucun doute sur l'exactitude de la proposition énoncée. Nous croyons utile cependant d'ajouter quelques explications pour faire mieux sentir la raison de la différence que nous signalons.
Considérons, pour plus de clarté, une fonction de deux variables seulement
cette fonction z peut s'exprimer également au moyen de x et d'une nouvelle variable ayant avec les deux premières une relation connue. Si l'on choisit une variable u définie par l'équation
(2) U=::-if[x,y),
on peut, entre les équations (i) et (2), éliminer y et en déduire une relation de la forme *
La dérivée t- prise dans l'équation (ij est la limite du rapport de l'accroissement de ::; à celui de x, lorsque y reste constant.
. ■ . dz .
La dérivée y- prise dans l'équation (3) est la limite du rapport de l'accroissement de 5 a celui de x, lorsque u reste constant.
Or il est clair que, y restant constant, u est variable, et, u restant constant, y est
dz variable; les deux valeurs de -r- déduites des équations (i) et (3) n'ont donc pas la
même définition, et il est tout simple qu'elles ne soient pas égales.
dz Si l'on considère l'équation (i) comme représentant une surface, -r- ^^t la limite
du rapport de l'accroissement de 5 à celui de x lorsqu'on se déplace sur la surface sans changer j, c'est-à-dire sur une section parallèle au plan des ZX. En déduisant
au contraire -7^ de l'équation (3), on calcule le rapport de l'accroissement de :; à
celui de x, lorsqu'on se déplace sur la surface en laissant à u une valeur constante,
c'est-à-dire en suivant une certaine courbe qui dépend de la nature de cette fonction u. Or le rapport de l'accroissement de z a celui de x n'est pas le même pour toutes les courbes que l'on peut tracer sur une même surface à partir d'un point donné. Cela est si vrai, qu'en choisissant la courbe qui résulte de l'intersection de la surlace avec le plan parallèle à celui de XY, pour laquelle z est constant, ce rapport peut toujours être rendu égal à zéro. Lors donc que z contient deux variables et que rien n'indique la variable adjointe à x et supposée constante dans l'opéra-
dz tion, -T- n'est pas déterminé.
Différentielle d'une /onction de plusieurs variables.
53. L'accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables peut s'exprimer comme celui des fonctions d'une seule variable, au moyen d'une expression fort simple qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur. Considérons d'abord une fonction o {x,y) de deux variables indépendantes l'une de l'autre. Donnons à chacune de ces variables des accroissements infiniment petits du premier ordre h et k, l'accroissement de (jp sera
rf{x-hh, x + k)—^ [x, y)=<f[x-\- h, j--{-k)—rf{x-\- h, j) -h cp (^ + //, r) — ? (^, r).
Or la différence
cp (a; 4- h, y -h /r) — cp (^ -h h, j)
peut être considérée comme l'accroissement de la fonction (p(x + h, y) dans laquelle la variable y a reçu l'accroissement k. On aura donc (46), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
<P (^ + h, j + /r) — (p (.r + h, j) = ff<f'^ {a: -h h, j). De même, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a
<f{x-+-h,f]—<f{x,r)=fiff'Jx,x],
<Pr ^t ?r ^lésignant les dérivées de 9 prises par rapport à ^ et par rapport à y. D'après cela on a, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,
<f{x-i-h,X + k]—^[x,r)=krf'^ {x + fl,r] + /lrf'Jx,r).
Maisfp^ [x-\-h, y) diffère infiniment peu de 9,, [x, y), le produit par k de la différence de ces expressions peut donc être négligé, et l'on peut écrire, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,
54. L'expression précédente est fort remarquable : elle montre que pour les valeurs des variables infiniment peu différentes de valeurs données x et r, l'accroissement de la fonction est une fonction du premier degré des accroissements h et Xrespectivement attribués à ic et à y. On suppose toujours, bien entendu, que les infiniment petits du second ordre soient négligés.
Si l'on représente par dx et par dy les accroissements arbitraires h et k, et qu(î l'on remplace en même temps les dérivées (^'^, 9'^, par les notations convenues
dx ^* ly' ^'^^P^'^ssion de l'accroissement de la fonction 9 devient
dtû d<s j
—J- dx -h ~ dy. dx dy
Cette expression se nomme la différentielle totale de 9, et on la représente par la notation d'D, en sorte que l'on a, par définition,
, dvf , do j
do= -j- dx + -j^ dr.
dx dy ^
Cette différentielle dcp est, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement de la fonction «p correspondant aux accroissements infiniment petits dx et dy attribués à ^ et à y.
A peine est-il nécessaire de faire observer que, dans le second membre de l'équation précédente, les numérateurs des fractions ^, ^, ont des significations différentes, et que ni l'un ni l'autre ne doivent être confondus avec la différentielle totale d^p qui s'écrit de même.
Le numérateur de ^ est la différentielle de 9 par rapport à x, considérée comme seule variable.
Le numérateur de ^ est la différentielle de 9 par rapport à y, considérée comme
seule variable.
Enfin le premier membre est la différentielle totale qui est la somme des deux autres.
Il y a certainement un inconvénient à écrire de la même manière des quantités essentiellement différentes, mais le lecteur bien prévenu n'y verra pas de difficulté sérieuse.
55. Des raisonnements tt)ut semblables montrent que l'accroissement infiniment petit d'une fonction de trois variables o{x, y, z), lorsque x, y, z reçoivent des
accroissements infiniment petits du premier ordre, A, k, l, peut être représenté, en négligeant les infiniment petits du second ordre, par
dx dr dz
et en posant A = dx, k — dy, 1 = dz, cette somme se nomme la différentielle totale de 9 ; on a donc par définition
, do , do j do j
d,= ^dx+^^dr-^-j-^d
dz
Lorsque dx, dy, dz sont infiniment petits du premier ordre, d'^ représente, en né^ gligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement de o correspondant aux accroissements infiniment petits dx, dy, dz des trois variables.
On doit faire ici la même remarque que dans le cas des fonctions de deux variables, l'expression d(^ a dans l'e^quation ( i ) quatre significations distinctes.
56. Le théorème et la définition précédente s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables. L'accroissement infiniment petit d'une fonction 9 [x, y, z, u, v) correspondant aux accroissements infiniment petits h, k, l, tu, n des variables, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à
do , do , do , do do
dx dr dz di( dv
et si, dans cette somme, on représente les accroissements h, k, l, m, n par dx, dy, dz, du, dv, on obtiendra l'expression
do , do , do , do . d^ . -j^ dx + -r- dr -i- -^ dz + -f- du + -f dv, . dx dr " dz du dv
que l'on nomme différentielle totale de 9 et que l'on représente pur r/9 : cette différentielle peut remplacer l'accroissement de la fonction lorsque dx, dy, dz, du, dv sont infiniment petits.
57. D'après ce qui précède, u désignant une fonction de plusieurs variables indépendantes, que nous supposerons, pour fixer les idées, au nombre de trois, si l'on attribue a ces variables trois accroissements infiniment petits dx, dy, dz, l'accroissement de u sera donné , en négligeant les infiniment petits du second ordre, par la formule
/'^ j , l'^\, ( ^) étant trois fonctions de x, y et z, indépendantes de dx. Jy et
dz. On peut énoncer ce résultat en disant : Si l'on donne k x, y, z et u, quatre accroissements infiniment petits simultanés, il existe, en négligeant les infiniment petits du second ordre, une équation du premier degré entre ces quatre accroissements, et trois quelconques d'entre eux restent arbitraires.
Cette forme de l'énoncé est importante, parce que la fonction u n'y est plus distinguée des variables dentelle dépend; x,y,z et m sont quatre variables liées par une équation ; cbacune d'elles peut être considérée comme fonction des trois autres.
L'équation du premier degré qui lie dx, dy, dz et du, étant successivement résolue par rapport à chacune de ces différentielles, fera connaître les dérivées de la variable correspondante, par rapport aux trois autres considérées comme indépendantes. Si l'on a, par exemple,
(i) du=:Vdx + (^dy-{-}idz,
en regardant u comme fonction de ^, j et z, on aura
Or l'équation ( i ) donne
p du du du
dx dy dz
dr=: r^ du — -p^ dx — -f: dz.
Par suite
du du
dy 1 dy dx dr dz
du du dx du dz du
dy dy dy
La première de ces équations est évidente, car les deux quotients V- et ^
représentent tous deux le rapport des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément (48) jet m, lorsque ^ et ^ restent constants.
Dérivées des Jonctions composées.
58. Une fonction composée est une fonction dont la définition implique des opérations à exécuter sur d'autres fonctions qu'il faut préalablement former. Soient m et ç^ deux fonctions de la variable x. Toute fonction de la forme
est une fonction composée de x.
Nous allons nous proposer de chercher la dérivée d'une fonction composée. Ln tel problème serait plus naturellement placé après les règles relatives à la détermination des dérivées, mais nous avons dû en différer la solution à cause des simplifications apportées à cette recherche par les théorèmes démontrés dans les paragraphes précédents.
Si l'on donne à ^ un accroissement infiniment petit Aa;-, il en résultera, pour u et V, deux accroissements Aw et Aç^, et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement Aj de/ sera (54)
d'où l'on conclut
A r d o Au d <f Av
Ax du i^x dv Ax
lorsque ùiX tend vers zéro, les limites des deux membres sont rigoureusement égales puisque dans l'équation (i ) on n'a négligé que les infiniment petits du second ordre; on a donc
dy d^ du d<f dv
dx du dx dv dx
On verrait de même que m, v, w désignant trois fonctions de x, la dérivée de la fonction composée/ = 9 {u, v^ w) est exprimée par la formule
dy dvf du dr^ dv </ç dw dx du dx dv dx diV dx
Généralement, la dérivée d'une fonction composée d'un nombre quelconque de fonctions
est exprimée par la formule
dy d'f du drf dv dv^ da> d'à dz dm dt
dx du dx dv dx dw dx ' dz dx dt dx
ce que l'on peut énoncer en disant : la dérivée d'une fonction composée est la somme des résultats obtenus en prenant les dérivées de la fonction proposée dans laquelle on considère successivement chacune des fonctions dont elle dépend comme variant seule avec x, toutes les autres étant traitées comme des constantes et la dérivée se réduisant alors à celle d'une fonction de fonction.
59. Le théorème précédent peut s'appliquer a la détermination déjà obtenue de la dérivée d'un produit ou d'une expression de la forme u".
v,2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Considérons d'abord le produit
u . iv désignant des fonctions de la variable x. Ce produit peut être considéré comme une fonction composée de u, de . et de i^', et l'on a, en appliquant le théorème précédent,
dr du dv dw
dx dx dx dx
ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (39).
De même en posant
u et . désignant des fonctions de x-, on peut considérer y comme une fonction composée et l'on a
dy dy du dr ±^ ^,,,,, ^ ^ ,,.1,, ^, d^ — dudx'^ dv dx dx dx
ce qui s'accorde avec le résultat déjà obtenu (41).
Dérivées des fonctions implicites.
60. On désigne sous le nom de fonction implicite toute fonction bien définie dont l'expression analytique n'est pas donnée.
Parmi les fonctions implicites, nous considérerons seulement ici celles qui sont définies par des équations non résolues.
Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction y définie par une équation entre cette fonction et la variable x,
Pour déduire d'une telle équation la dérivée, ou, ce qui revient au même, la différentielle de y, remarquons qu'en supposant y remplacé par sa valeur en x la fonction <p sera identiquement nulle ; sa différentielle sera donc égale à zéro, et l on aura
dm , d<» j
on en déduit,
dy dx
dx dj
dy
et le problème est résolu.
Il faut bien observer que l'équation (2) est une conséquence rigoureuse de l'équation (1). Comme, en faisant le raisonnement d'une manière incomplète, on pourrait être conduit à penser le contraire, nous insisterons sur ce point important.
L'équation
ayant lieu identiquement lorsqu'on y a remplacé 7 par sa valeur en x, l'accroissement de cette fonction est rigoureusement nul ; il semble donc que sa valeur
■~^dx+ -r-dr, dx dy^ '
dans laquelle on néglige (53) les infiniment petits du second ordre, n'est pas égale à zéro, mais seulement infiniment petite du second ordre, en sorte que l'on a rigoureusement
i étant intiniment petit du second ordre. Cette équation serait suffisante pour fournir la valeur de y^\ car -^ est nul a la limite; mais on- peut démontrer que £ est
rigoureusement nul et que l'équation (2) a lieu sans aucune erreur. Remarquons en effet que, r étant une fonction de x (peu importe qu'elle soit connue ou inconnue), dy est de la forme Y^dx\ le premier membre de l'équation (2) est donc le produit de dx par un certain coefficient fonction de a;; or il faut que ce coefficient soit nul pour que le produit soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, et dans ce cas il est rigoureusement égal à zéro.
