LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les deux surfaces développables qui se coupent suivant la normale en un point donné de S sont perpendiculaires l'une à l'autre, comme les lignes de courbure suivant lesquelles elles coupent la surface S: or, en supposant l'œil d'un observateur placé en un point quelconque de la génératrice commune de ces deux surfaces, les cônes circonscrits à 2 et à 2' ayant ce point pour sommet passeront tous deux par la génératrice des deux surfaces développables auxquelles ils seront tangents; ils se coupent par conséquent à angle droit: c'est ce qu'il fallait démontrer.

()76. Quoique le théorème précédent établisse une dépendance très-intime entre les deux surfaces auxquelles sont tangentes les normales d'une surface donnée, il s'en faut de beaucoup que, l'une d'elles étant donnée, il soit possible de déterminer l'autre. Si l'on se donne en effet une seule surface à laquelle soient tangentes les normales d'une surface inconnue, on pourra déterminer celle-ci d'une infinité de manières,%n traçantsur la première une série quelconque delignes géodésiques ''662) dont elle coupera les tangentes à angle droit.

Cherchons par exemple une surface dont les normales soient tangentes à une sphère. Il faut, d'après ce qu'on vient de dire, concevoir sur la sphère une série quelconque de grands cercles; la surface cherchée coupera à angle droit les tangentes à ces cercles, et sera par conséquent le lieu d'une série de développantes de cercle.

Il est aisé de voir que dans le cas dont il s'agit, la seconde surface à laquelle les normales sont tangentes est un cône ayant pour sommet le centre de la sphère. Quels que soient, en effet, les grands cercles tracés sur la sphère, leurs plans, qui passent tous par le centre, enveloppent un cône ayant ce centre pour sommet, et toutes leurs tangentes, étant situées dans les plans tangents de ce cône, touchent évidemment sa surface.

Réciproquement, si l'on se donne une sphère et un cône quelconque ayant pour sommet le centre de celle-ci, les plans tangents à ce cône coupent la sphère suivant des cercles dont les tangentes, qui touchent à la fois la sphère et le cône, sont les normales d'une même surface. Cette surface peut être engendrée, comme on le voit bien facilement, par une développante de cercle située dans un des plans tangents au cône, et qui se meut, sans changer de forme, pendant que le plan qui la contient roule sur le cône en le touchant successivement suivant toutes ses ujénératrices.

677. On peut indiquer plus généralement la description des surfaces dont les normales sont tangentes à une surface développable donnée. Toutes les normales à la surface inconnue, dont les points de contact sont sur une même génératrice de la surface développable, sont en effet dans un môme plan; elles sont donc tancfentes

à une même courbe, et percent par conséquent la surface inconnue suivant une ligne de courbure qui évidemment est plane. Choisissons pour cette ligne une courbe arbitraire située dans le plan tangent à la surface développable: si l'on suppose ensuite que ce plan roule sur la surface en la touchant successivement suivant chaque génératrice autour de laquelle il tourne, pour passer à la position infiniment voisine, la courbe arbitraire étant entraînée, sans changer de forme, dans le mouvement du plan qui la contient, engendrera la surface demandée.

Chacun de ses points se meut, en effet, à chaque instant, normalement au plan même de la courbe, et par conséquent la normale à la surface engendrée est la normale même à la courbe génératrice située dans le plan de cette courbe, et touche constamment la surface développable donnée.

Ligne de courhure commune à deux surfaces.

678. Lorsque la courbe d'intersection de deux surfaces est ligne de courbure de l'une et de l'autre, les deux surfaces se coupent sous un angle constant.

Si, en effet, on mène par chaque point de l'intersection une normale à chacune des surfaces considérées, ces deux systèmes de normales envelopperontdeux courbes qui sont (610) deux développées de la courbe d'intersection. Or on a prouvé (619) que les normales issues de chaque point d'une courbe et tangentes à deux développées différentes forment un angle constant.

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que leur intersection soit une ligne de courbure de la première, elle est aussi ligne de courbure de la seconde.

Les normales menées à la première surface par les points de l'intersection enveloppent en effet une développée de celle-ci; or, en faisant tourner chacune d'elles d'un angle constant autour de la tangente à la courbe d'intersection, pour obtenir les normales à l'autre surface, on déterminera (619) les normales tangentes à une seconde développée de la courbe d'intersection; cette ligne est donc une ligne de courbure de la seconde surface, puisque les normales menées à cette surface par les différents points sont tangentes à une même courbe.

Lorsqu'un plan ou une sphère coupe une surface suivant une ligne de courbure, cette ligne peut toujours être considérée (619) comme étant, en même temps, ligne de courbure du plan ou de la sphère : le théorème précédent est donc applicable, et par conséquent les deux surfaces se coupent sous un angle constant. Réciproquement, si un plan ou une sphère coupe une surface quelconque sous un angle constant, l'intersection, étant nécessairement ligne de courbure du plan ou de la sphère, est aussi ligne de courbure de la seconde surface.

679. Les théorèmes précédents peuvent aisément se démontrer analytiquement.