LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Soient, en effet,
les équations de deux surfaces qui se coupent suivant une ligne de courbure commune. Nommons x, y, z les coordonnées d'un point de l'intersection, ^{.dx, dy, dz les variations relatives à un déplacement infiniment petit effectué sur cette ligne; les angles formés avec les axes par les normales aux deux surfaces étant a, /3, y, a.', /5', y, on a
ces udx -{- ces (3 ^j -t- ces y dz = o,
ces a' dx -h ces j3' dy -\- ces y' dz^o;
de plus, l'intersection étant une ligne de courbure de chacune des surfaces, on a (669)
dx dy dz
d CCS a d ces [3 d cos y '
dx dy dz
dcosx' dcos^' d cosy'
d'après lesquelles on déduit de (i)
cos a c? cos a' + cos [3c? cos [3' + cos y fl? cos y' = o, cos a' d cos a -+- cos [3' d cos (3 + cos y' d cos y = o ,
et en ajoutant ces deux équations,
d ( cos oc cos a' -f- cos (3 cos (3' + cos y cos y') = o,
c'est-à-dire
cos a cos a' -+- cos (3 cos (3' + cos y cos y' = consl.
Cette équation exprime évidemment que les deux surfaces se coupent sous un angle constant.
680. Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que l'intersection soit ligne de courbure de la première, elle est aussi ligne de courbure de la seconde. On a alors, en effet, en adoptant les notations du paragraphe précédent, ,
/ > dx dr dz
a cos a a cos (3 a cos y
le signe d se rapportant toujours à un déplacement infiniment petit effectué sur la I. 89
ligne d'intersection, et pour exprimer que l'angle des deux normales est constant,
{ 2 ) d{ ces a cos y.' -h ces |3 ces j3' -h ces y.cos y' ) == o ;
on a enfin les deux équations
f:os y.dx-\- ces [3 dy -\- cos y dz =^o,
cos x' dx H- cos P' df -f- cos y' dz=^ o,
qui expriment que la courbe d'intersection est perpendiculaire aux deux normales.
Des équations (i) et (3) on déduit évidemment
( 4 ) cos x' d cos a + cos [3' d cos |3 -h cos y' r/ cos y = o ,
qui, combinée avec l'équation (a), donne
(5) cos a c? cos a' -+- cos (3 c? cos j3' -f- cos y J cos y' = o , ' et on a d'ailleurs
(6) cos x d cos x'-{- cos [3' c^cos (3' + cos y' f/cosy' =: o,
et les équations (5) et (6), rapprochées des équations (3), donnent , , dx dr dz
I rj \ . :n= = 5
• dcosx' dcos^' dcosy'
ce qui exprime (669) que l'intersection est une ligne de courbure de la seconde surface.
Surfaces orthogonales.
681. Nous avons déjà considéré (123) les systèmes de surfaces qui, se coupant orthogonalement, partagent l'espace en parallélipipèdes infiniment petits. Cette étude, qui semble appelée à prendre une grande importance, a déjà fourni de beaux résultats à la géométrie et à l'analyse. L'une des propositions les plus célèbres et les plus importantes dans cette théorie est le théorème suivant dû à M. Charles Dupin.
Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.
Considérons, en effet, un point A où se coupent trois surfaces du système considéré, et soient AX, AY, AZ les tangentes aux trois lignes d'intersection, et aussi, d'^après nos hypothèses, les normales aux trois surfaces; prenons ces lignes pour axes
de coordonnées, et considérons trois points M, N, P respectivement situés sur elles à distances infiniment petites et égales entre elles du point A. On peut, en négligeant les infiniment petits du second ordre, regarder ces points comme situés sur les courbes d'intersection auxquelles les axes sont tangents. Soient a, /3, y, a', /3', y' les angles formés avec les axes par les normales en M aux deux surfaces qui se coupent suivant AM; ces deux normales étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a (i) CCS a ces a' 4- ces ^ CCS |3' H- ces y CCS y' = o.
a et y! différant infiniment peu d'un angle droit, et j3 étant infiniment petit ainsi que y', cette équation devient, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
( 2 ) ces P' H- ces y = o.
Soient de même a,, jS,, y,, a'^, |5'j, y\, les angles formés avec les axes par les normales en N aux deux surfaces qui se coupent suivant AN, et a^, jSa, ya, d^, p\, y g les angles analogues relatifs au point P: on aura de même
CCS y', -f-cos a, = o,
ces a, + CCS (32^ o;
mais d'après le théorème démontré (649), on a
CCS ^2 = ces y', ,
(4) ces y = ces a',,
cos a, = ces (3'.
Si l'on remplace les premiers membres de ces trois équations par leurs valeurs déduites de ( 2 ) et ( 3 ), on a
(5) ces (3' -h ces a', = o , ces y', -t- ces (3' = o , cos a', 4- f:osy', = o.
Ajoutant les deux premières membre à membre, et retranchant la troisième, on a enfin
(6) 2 ces [3' = 0;
on en déduit immédiatement
(7) cosy', = 0, cosa, =0, cosa, = o, cosy = o, cosj3j = o.. ■
L'équation (6) exprime que la normale en M à l'une des surfaces qui passent par ce point est perpendiculaire à l'axe des Y, et située par conséquent dans le plan Z AX; elle rencontre donc la normale en A qui est AZ, et AA' est la direction d'une ligne de courbure: on verra de même qu'en vertu des cinq équations (7) les lignes de courbure des trois surfaces qui se coupent en A sont tangentes aux axes
AX, AY, AZ; et comme A est un point arbitrairement choisi, on voit que chaque courbe d'intersection est tangente en chaque point à l'une des lignes de courbure des surfaces sur lesquelles elle est située, ce qui exige évidemment qu'elle soit elle-même une ligne de courbure.
682. Le théorème précédent ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration.
Soient
o,{x,jr, z)=p,, c^,{x,x, z) = p,, cr>,{x, y, Z) = p3
les équations des trois systèmes de surfaces dans lesquelles pt, p^, p^ désignent des paramètres arbitraires dont la valeur les caractérise. Supposons les axes choisis de telle manière que l'origine des coordonnées soit un point où se croisent trois de nos surfaces. Supposons de plus que la première surface soit tangente au plan des XZ, la seconde au plan des XY, et la troisième au plan des YZ; les surfaces se coupant toujours à angle droit, on a identiquement
f/o, ^92 do^ dç, do, r/92 dx dx dy dy dz dz
t/çp2 ûfcpa f/9, c?93 d(s^.id(s^i dx dx dy dy dz dz
fi?9., fi?9, do^dc^, d^^idcfi, dx dx dy dy dz dz
Différentions l'équation fi) par rapport à x, l'équation (2) par rapport à j, et l'équation (3) par rapport à z, nous aurons
^?i d^ d^ l!9' , ^'?i d(^2 dc^ d^<^, d^, ^9, ^ ri 9, d^ 9,
dx dx^ dx dx^ dx dy dy dy dx dy '^ dx dz~dz ^ ~dz TïxTz ~ "'
ç/9, c^'93 d^ d'o, d^ d'c^i ch^ (P^ d 9^ d^ 93 d 9., d' 9^ dx dxdy dx dx dy dy dy' dy lly^ ~^ ~dz 'dzdy^'^ 'dz dz'dy~^'
(6) li-^— ?!- . ^?'.^>3 do, </'9, c?9, f/^^3 d(^,d'(û, do^d'cp^ dx dxdz dx dx dz dy dy dz 'dy dy dz ~^ ~dz dz' ~^ Hz dz'
Si dans ces équations, qui sont identiques, on suppose ^=0, 7 = 0, s = o, on aura, d'après les hypothèses faites sur les plans tangents à l'origine,
d<^i 6^9, do-, do. do-i doi
