LIVRE TROISIÈME. -APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et les équations deviennent

' ' -^ df dxdy dz dx dz

ddj), rf'92 dcfi c?'cp,

dy dx dy dz dx d;

dx dx dy dz dz dy

' c[9 3 d^cj>, d^ d^03 ^°' dx dx dz dy dy dz

Des équations (7) et (9), on déduit

dx dy dx dydz dz '

qui, combinée à (8), donne

d(^, d^9j__ dx dx dy

doi d^ 93

dz dydz '

et comme -r^-> -P ne sont pas nuls, on en conclut dx dz *

d^Oï d^Oi

dx dy ' dy dz

on trouverait de même

d^ cOi

dx dz

ce qui démontre (667) que les lignes de courbure sont, à l'origine, tangentes aux axes de coordonnées, et comme l'origine est un point arbitraire de l'espace, les lignes de courbure sont en chaque point tangentes aux intersections des surfaces deux à deux, et sont par conséquent ces intersections mêmes.

683. Les géomètres ont obtenu, par des méthodes sur lesquelles nous aurons à revenir, et qui ne peuvent être exposées en ce moment, un grand nombre de systèmes de surfaces orthogonales, dont, par cela même, le théorème précédent fait connaître les lignes de courbure. Bornons-nous à montrer ici comment, un tel système étant connu, on peut en déduire une infinité d'autres. Il suffit de faire subir aux surfaces qui composent le système donné la transformation par rayons vecteurs réciproques, qui consiste, comme on sait, à joindre chaque point M du système à un point fixeO, etàprolongerOM jusqu'en un point M' tel, que le produit OM.OM' soit

égal k un carré donné. Le point M' ainsi défini est dit le correspondant de M. ('.haque point de la figure primitive ayant son correspondanr,, chaque ligne et chaque surface a évidemment une ligne ou une surface correspondante. Un triangle infiniment petit quelconque ABC est transformé de cette manière en un tri-

angle semblable A'B'C. On a, en effet, par hypothèse, en désignant par K une ligne donnée, OA.OA' = K-, OB.OB' = K-, OC.OC'=K^ lien résulte que les triangles OAB, OA'B' sont semblables, et que l'on a