COS X COS X COS X

CCS — X =

3(1— 4sin'^^J 3 I — 4 ( I— cos'^xj 3Ucos2^x — 3 1 c'est-k-dire

COS .r = 4 COS' -X — 3 COS -^ x ,

ce qui est exact.

62. Passons à un cas plus compliqué. Supposons que j et z soient deux fonctions de X liées à la variable par les équations

Si ces équations étaient résolues par rapport à j et à z, en y remplaçant les variables par leurs valeurs en fonction de x, elles deviendraient identiques, chacun des premiers membres aurait par conséquent une différentielle rigoureusement égale à zéro, on a par conséquent

d'à j d'à , dfS) ,

d'où l'on déduit

--j- dx-Jr-r^ dr-i- — dz = o,

dx df '' dz

dr dz

(Ijdj^ d^dj^ dfd^ dfd-if d^^^d-^^ d-^ d-h'

dy dz dz dy dz dx dx Ib, dx dy (Tjr dx

et ces équations font connaître les différentielles dy, dz, ou, ce qui revient au même, les dérivées

df d^

dz dx

dx dz

dx dr

dy dx

df d-^

d(f, d-if

df d'il

df d-]f

dy dz

dz dy

dy dz

dz dy

63. Si le nombre des équations, toujours égal à celui dés fonctions inconnues, devenait plus grand que deux, la marche à suivre serait la même, et il n'y aurait rien à changer au raisonnement. Les rapports des différentielles s'obtiennent dans chaque cas par la résolution d'un système d'équations du premier degré , et l'on sait que l'on ne doit pas chercher autre chose que ces rapports, puisque l'une des différentielles est essentiellement arbitraire.

Si l'on a, par exemple,

<f, {x, y, z, u, v]—o, 'f, {x, y% z, u, v] =o, f, {x, r, z, u, (^) = o, fi (^-,7, z, M, c) — o,

les (litïerentielles dœ, dy, dz, du, dv sont liées par les équations

■y- </.r -f- -V- fl?r 4- -y- dz ->r ~ du + -^ dv = o, dx df -^ dz du dv

-j^ dx -^ ~ dy -^ ^ dz + -^ du -f- -f-dv — o , dx dy ' dz du dv

-j^ dx-+- ~ dr-^- -r- dz-h -~ du+ -j- dvz=o, dx dy dz du dv

d<Oi , d^i J dw, , d(f4 , difi ,

—^ dx + -r- dy -^ -^ dz -i- -f- du -+- -^ dv — o,

dx dy ■ dz du dv

et ces équations, déterminant le rapport de deux quelconques de ces différentielles, permettent de calculer la dérivée de l'une des variables par rapport à une autre variable désignée, que l'on prendra pour variable principale.

64. Lorsque les fonctions implicites que l'on considère dépendent de plusieurs variables indépendantes, il n'y a rien à changer à ce qui précède. Le calcul de la dérivée de la fonction par rapport à l'une des variables, peut se faire comme si toutes les autres variables indépendantes étaient constantes et en les traitant dans les calculs comme des paramètres constants.

Supposons, par exemple, que m et v soient deux fonctions de o^ et de y définies

par les équations

Pour calculer les dérivées -^ ei -^i on fera absolument le même calcul que si, y

dx dx

étant une constante, il s'agissait de deux fonctions d'une seule variable. Un second

calcul fera connaître -r- et -7-5 dy dy

Les dérivées -j- ? -r- 1 se déduiront des équations dx dx '^

-r~ dx -\ J- du -i — — dv — o,

dx du dv

dv , d<o , d<B J