V- dx H- -—- du H y- dv = o
dx du dv
m PREMIÈKE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et les dérivées V' -r- se déduiront des deux suivantes : dy dy
d¥ , dV , , dY ,
^— dr H f- du ■+- —j- di' —o,
dy du dv
d<s> j dm , à -i ,
-r- dr-\- -r- «" ■+- -j^ dv — o.
r/r fiu dv
Il est bien entendu que dans les équations (u), du et dv n'ont pas la même signification que dans les équations (3). Dans les premières, les différentielles sont prises par rapport à x, et dans les deux autres, elles le sont par rapport à j. Ce qui a été dit (48) n'est pas applicable ici : la différentielle d'une fonction est indépendante de la variable par rapport à laquelle on la prend, lorsque la fonction dépend d'une seule variable et que l'on substitue à cette variable une variable nouvelle qui en dépende ; mais ici les deux variables x et y sont indépendantes et leurs différentielles d.r et dy ont un rapport entièrement indéterminé.
65. On peut procéder d'une autre manière et calculer à la fois les quatre dérivées ^, i!i, il, 1-!1: il faut pour cela prendre pour inconnues les différentielles totales
d.r dy d;z dy ' ^
du et dv. Si dans les équations ( i ) on donne simultanément k x et k y les accroissements dx et dy, il en résultera pour u et v des accroissements que l'on pourra regarder, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égaux à du el dv (54), et les fonctions F et © ne variant pas, on aura, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,
On peut d'ailleurs démontrer que ces équations, qui se présentent à nous comme exactes, aux infiniment petits du second ordre près, sont rigoureusement vraies. En effet, du et dç étant des différentielles, sont, par définition, l'un et l'autre de la forme M^^ H- N«(y, et par suite les deux premiers membres des équations (4 ) sont de la forme
P dx 4- Q dy,
P et Q étant des fonctions de x et de y; et comme dx et dy sont indépendants l'un de l'autre, une pareille somme ne peut être infiniment petite d'un ordre supérieur au premier que si l'on a P = o, Q = o, et alors elle est rigoureusement nulle.
dx
dy
dy
dV du
du
di'
dv
di-
do
dy
d'i du
du
do
dv
di'
En résolvant les équations (4) par rapport à Jw et à dv, on on déduira pour cos dift'érentiellcs des valeurs de la forme
t du = A dx H- B d)\ dK'^S! dx-\-'^' dy, et par conséquent (53),
dl = '^' dj~^' 7B--^' dy-''- En exécutant les calculs, on trouve
f/rp d¥ __(hi^ ^Il^lL^il^
du Tîx'dv'^ dv (Ix (iu dy dv dv dy
dZ- "1'^ dV '^(h(iy dy" djfj£__<ll^lE.'
7!v7[û~~ du dv dv du du dv
dF dw dF^dj d^dF d ^ dY
dv TïxTïu^ lu dx dv dy du du dy
dx~ cJ^dF^(UdF^ dr~ dj(i^^h<lK' Iv lîi du dv du dv dv du
60. On- peut également déduire des équations (4) dx et dy exprimés en fonctions de du et d^\ et si l'on a
on rn conclura
r/j; = A, ^« + Ii, dv, dy — A', du -h B', dv,
dx . dx ^ dy dy ,.,
^=^^' ^-^" tu'-^^'' dv-"" '
Il faut bien remarquer que l'on n'a pas ici, comme (33),
dx 1 du I du \ \dl'j
Les accroissements dont '^ exprime le rapport ne sont pas, en effet, les mêmes que ceux qui figurent dans ~ Lorsque l'on calcule la dérivée partielle^, w et x varient, y restant constant. Dans le calcul de ^, .r est considéré comme fonction de u et de r, en sorte que x et u varient, v restant constant; or pour que v reste c<uistant, il faut nécessairement que y change, et par suite les variations considérées sont autres que dans le cas précédent.
Cette reniarque étant importante, et l'erreur dans laquelle on tomberait en l'omettant étant des plus craves, nous donnerons ici un exemple.
r,8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL
Soient
les relations proposées entrer:,/, m, v\ on en déduit
dx du I
du ' dx 3.
dx I
du i du\
et par conséquent on n'a donc pas
dx j
67. 11 existe cependant des relations simples qui, dans le cas des fonctions de
, . , , 1-^1 1' • ' dx dx dy dy i • ' • '^'« ''*'
deux variables, lient les dérivées -i-i -5-» ->-' -f--> aux dérivées inverses -i-> -7-,
du dv du dv dx dx
-1-1 -r ■ C.es relations sont dy dy
dx du du dx
dx
dv
dy du du dy
dy dv du dy
dx du ^ du dy
dx di' dv dy
dy du du dx
dy dv dv dx
Leur démonstration est extrêmement simple; si Ton suppose x et y exprimées en fonctions de u et de v, puis u et c remplacés, dans ces expressions, par leurs valeurs en fonctions de x et de y, on aura deux identités équivalentes à ;r'= x, y = y, et dont les seconds membres se présenteront sous forme de fonctions composées contenant u et V, qui elles-mêmes contiennent x et y. Or en prenant les dérivées de ces identités par rapport à x, puis les dérivées par rapport à j, les premiers membres
donneront pour résultat -7- = i, ~- = i , -p- = o, -r- = o, et les seconds membres,
*■ dx dy dy dx
par l'application de la règle des fonctions composées, donneront précisément les seconds membres des formules ( i ).
. On formerait aisément des relations analogues pour un nombre quelconque de fonctions, dépendant d'un nombre égal de variables.
LIVHJ-; l'REMIKU. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 59
EÎCERCICES.
1. Trouver la dérivée de arc sin x, el celle de arc tang x, sans les considérer comnne des fondions inverses el au moyen des formules
arc sin [x-+- h) — arc sin ^ =arc sin [{x -h h) \/i — x' — ^v i — (•^-^/■'j']?
arc lang [x -h h ) — arc tang x = arc lang -. ; •
î2. P el Q désignanl deux fondions enlières de x, lelles que l'on ail
on a nécessairemenl
dP dx
Il ~
n désignant un nombre enlier.
