X- — m' m dx
On en déduit
\jx'^ — ni' y =1 ml [x-\- \lx- — m']
Si l'on prend la constante C, qui est arbitraire, égale à ~ Im, on déduit de cette équation
y X + six' — m' = me "',
im ' PREMIÈRE PARTIE. CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et, par suite,
■six-" m
— in^ = me
équation d'une ehaînette qui, par sa révolution autour de l'axe des j, engendrera la surface applicable sur l'hélicoide gauche à plan directeur.
738. M. Bour a généralisé le théorème précédent en démontrant que toute surface hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution.
On nomme surface hélicoïdale \'à surface engendrée par un profil de forme quelconque situé dans un plan normal à un cylindre de révolution mené par une génélatrice et se mouvant sans changer de forme, de telle sorte que tous les points décrivent simultanément des hélices de même pas situées sur des cylindres de même
axe.
En prenant pour axe des z l'axe du cylindre et pour axes des x et des y deux diamètres rectangulaires de la base, on peut évidemment représenter une surface hélicoïdale par les équations
X =^ ^ ces 0) , J z=: p sin w ,
2 = /n fjL) -i- 9 ( p ) ,
la forme de la fonction 9 (p) déterminant la courbe qui sert de profil. Les variables p et co définissent ici sur la surface deux systèmes de courbes : les unes, qui correspondant aux valeurs constantes de p, sont des hélices ; les autres, correspondant aux valeurs constantes de w, sont les courbes, toutes superposables, suivant lesquelles la surface est coupée par les plans méridiens du cylindre- Ces deux systèmes ne sont pas orthogonaux, et pour cette raison nous introduirons une nouvelle variable u, paramètre des courbes qui coupent les hélices à angle droit. En considérant u comme une fonction de p et de w, on aura
, 7 . d(ti , . dd) J
dx =: cos M dp — p sm co -7— do — p sin w -j— au , ' ' dp ' du
dw , do) ,
df = sin 0) ap -h p cos co -j- do -+- p cos o) -y— au ,
,/ ^ 7 do) J dM J
dz = 9' (p ) ap -h w -J- du H- m -y- dp ; on en déduit l'expression du carré ds"^ de la distance de deux points infiniment
