LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
voisins de la surface.
Pour que les courbes qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent ortliogonalement les hélices qui correspondent aux valeurs constantes de 0, il faut que le ternie en dudp disparaisse. Posons donc
du
dTi "^ P^"* P^^ ^^""^ ""'' ^^'^ ^^ estinipossible que &3 dépende de la seule variable^: il faut donc égaler à zéro le second facteur; on en déduira une valeur de w en fonction de/5, et comme wne figure que par sa dérivée j-, on peut lui ajouter une fonction arbitraire de m. Prenons cette fonction égale à ku, k étant constant; — sera alors égal à k, et l'expression de ds'- prendra la forme
ds'' =:Gdp'-\-/>'diû(rJ-hm^), le coefficient G ne contenant que p : désignons-le par [^j^(|5)J-, nous aurons
ds'==[^{p)dpY-+- k'diC- { p2+ m' ).
Si l'on pose -^ [p)dp — dv, o sera une fonction de v ei l'expression de ds- prend la forme
ds' = dv'^Y{v)dii\
qui convient (130) à une surface de révolution.
Courbure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque.
739. Lorsque sur une surface quelconque on considère deux systèmes de lignes se coupant ortliogonalement et décomposant la surface en rectangles infiniment petits, il existe entre les courbures géodésiques des lignes des deux systèmes, ou, ce qui revient au même, entre les côtés infiniment petits des rectangles successifs, des relations analogues à celles qui ont déjà été trouvées (507) et (556 pour les systèmes plans ou sphériques.
Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du premier système correspondant aux valeurs ag, 0:^+ da^ du paramètre a^, qui figure dans leur équation générale, et CC, DD' deux courbes infiniment voisines du second système correspondant aux valeurs a,, a, ^-c?a^ de leur paramètre, et formant avec les deux premières un rectangle infiniment petit PQRS; le côté PR, distance de deux points infiniment voisins qui correspondent à une même valeur de ag, est évidemment proportionnel à du^, et le côté PQ à da^-, posons donc, en désignant par E et G deux fonctions de c/.^ et de ao que nous regardons comme connues,
jS B'
