LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

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740. Cherchons ce que deviennent, dans le cas d'un système quelcon([ue de courbes orthogonah^s, les relations trouvées (558) pour un système de courbes sphériques.

Soit PQRS le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes correspondant aux valeurs «,, a,H-o?a, du premier paramètre, et a,, y^^-^-dy... du second. Menons les sommets P, Q, R, S des lignes géodésiques tangentes aux côtés de ce rectangle : nous formerons un octogone QOPIRO'Sl', dont la courbure totale

est mesurée (728) par l'excès de la somme de ses angles sur douze angles droits; or, en nommant £,,£,+ dz^ les angles de contingence des arcs PR, QS, et So» 2. -+- di. ceux des arcs PQ, RS, on a, en désignant chaque angle de l'octogone par la lettre placée a son sommet,

et la courbure de l'octogone est par conséquent mesurée par

— dt, — di,.

Cette courbure est égale d'ailleurs (722) à la surface PQ.PR divisée par le produit des rayons de courbure, et l'on a par conséquent