X""" -{- (IX — ^ = G

— Développement de la racine de l'équation

— Développement de lorsque l'on sait

(lévelopperlespuissanccsentièresde^(z).

— Expression symbolique de la série de

Taylor.. . . .'

— Extension de la formule aux fonctions de

deux variables ,

3ii

Lamé. — Formule remarquable relative aux courbures de deux séries de lignes orthogonales

— Formule analogue pour les courbes tra-

cées sur la sphère

— Formules analogues relatives à une sur-

face quelconque

Laplace. — Démonstration qu'il a donnée de la formule de Lagrange

— Généralisation de la formule

— Auteur de la théorie des fonctions géné-

ratrices

— A donné l'expression symbolique du dé-

veloppement de cy {.v+h, j+X), a étendu la formule de Lagrange aux fonctions de

deux variables

Leoendre. — A étudié le premier certaines fonctions qui naissent du développement

i de ( 1 — 2.rz -f- S-) '

Leibnitz. — A déduit le développement

de ' — ■ de la théorie des intérêts

composés

LiouviLLE. — Ce qu'il nomme courbure géodésique

5ii 3ii

TABLE ANALYTIQUE

LoGAïUTHMEs. — Étucle (le la foncUon 1(1 + 2;),

lorsque z est imaginaire 377

— Dévelo|)pement de 1 (i +z), lorsque z est

imaginaire 38 1

- N°sdes§§ Logarithmique (Spirale). — Son rayon de

courbure 504

— Sa développée 53^

Maclaurin. — Série que l'on désigne habituellement sous le nom de théorème de Maclaurin 2^8

— Démonstration du théorème de Maclaurin,

déduite de la méthode des coefficients

indéterminés. ". 27g

Manniieim. — Démonstration du théorème de M. Dupin sur la surface dont les lignes de courbure sont circulaires 698

Maxima et minima.— Définition du maximum

d'une fonction d'une seule variable 472

— Condition du maximum et du minimum. 473

— Plus courte distance d'un point à une

courbe 474 et 479

Maxima et mimma.— Conditions de maximum ou de minimum pour les fonctions de deux variables 480

— Extension aux fonctions d'un nombre

quelconque de variables 48'^.

— Maximaetminimadesfonctiansimplicites. 484 MiNiMA ( Ligne ).Voy. Géodésiqiœ {Ligne).—

Le plan osculaleur de la ligne minima sur une surface est normal à la surface.

— Les tangentes à une série lignes géodési-

ques sont normalesàune même surface.

MoNGE.— Propriété caractéristique des droites

normales à une même surface 649

MuRPHV. — Application élégante du théorème

de Taylor 307

Normal (Plan). — Plan normal à une

courbe à double courbure . . . . > 9-2

— Équation du plan normal à une courbe à

double courbure 92

Normale. — Équation de la normale à une

courbe plane 78 et 79

— Angles formés par la normale à une

courbe plane avec les axes de coordonnées 81

— Distinction entre la noimale intérieure ^t

la normale extérieure 82

— Normale à une surface courbe 95

— Angles de la normale avec les axes 96

— Distinction entre la normale intérieure et

la normale extérieure 96

— Equation de la normale à une courbe

plane 78 et 79

— il n'existe pas en général de surface nor-

male à un faisceau donné de droites 647

— Condition nécessaire pour que la surface

existe 648

— Propriété caractéristique des normales à

une surface 65o

— Expression des angles qui caractérisent

la direction de la normale dans le voisinage d'un point donné 65i

— Lorsque des rayons normaux à une sur-

face sont réfractés, quelle que soit la surface de séparation des milieux, ils restent normaux à une surface 669

Normale. — Surface tangente aux normales

d'une surface donnée 673

— Cette surface a deux nappes qui, vues

d'un point quelconque, paraissent se couper à angle droit G75

— Lorsque les normales d'une surface sont

tangentes à une sphère, elles sont

aussi tangentes à un cône 676

Normale (Principale). — Sa définition 587

— Calcul des angles qu'elle forme avec les

axes 587

— Surface lieu des normales principales. .. 596

— Les normales principales ne sont pas tan-

gentes à une même courbe 597

— Plus courte distance de deux normales •

principales infiniment voisines 600

— Normale principale de la développée d une

courbe 61 3

Normale (Sous-). — Expression de la sousnormale G80

— Expression de la sous-normale en coor-

données rectilignes

— Expression de la ligne que l'on nomme

sous-normale en coordonnées polaires..

Notation sy.mbolique. — Représentation

symbolique de la série de Taylor 343

— Application de la notation symbolique au

développement de o (^-|-//) — 'f (j:)., . 344

— Démonstration du théorème d'Herschel. 345

TABLE ANALYTIQUE

NOS des §§ Ombilics. - Leur définition • 635

— 11 faut deux équations pour les détermi-

ner

Orthogonales (Courbes). - Distance de

deux courbes infiniment voisines 5o7

— Expression du rayon de courbure en fonc-

tion des coefficients de la distance de deux points voisins ^^^

— Théorème de M. Lamé sur la variation

des courbures de deux systèmes de courbes planes orthogonales 5 1 1

— Loi de variation des côtés des rectangles

qui décomposent un plan 5i4

— Courbes orthogonales sur la sphère,

théorèmes analogues à ceux qui se rapportent aux lignes planes 556 à 56 1

— Théorème analogue relatif aux lignes tra-

cées sur quelques surfaces 739

— Théorème de M. Dupin G8i

OscuLATELU (Cercle). - Définition du cercle

osculateur ' °

— Se présente à l'occasion de la plus courte

distance d'un point à une courbe 474

N"sdes§§

Osculateur (Cercle). — Il ne diffère pas

du cercle de courbure 54o

— Le cercle osculateur d'une courbe à dou-

ble courbure ne diffère pas du cercle de

courbure ^"^

Osculateur (Plan). — Sa définition. 562 à 56(i

— L'angle du plan osculateur avec la tangente

voisine est infiniment petit du second ordre ^^7

— Intersection du plan osculateur avec la

tangente voisine 568

— Intersection de deux plans osculateurs in-

finiment voisins ^^y

— Intersection de trois plans osculateurs

infiniment voisins ^70

— Surface-enveloppe des plans osculateurs.. 571

— Équation du plan osculateur 574

— Plan osculateur de l'hélice 577

— L'axe du plan osculateur est l'intersection

de deux plans normaux voisins SgS

— Distance d'une courbe au plan osculateur. 608 Osculatrice (Sphère). - Sa définition. . . . 601 ■■^ Détermination de son centre et de son

ravon ^^'^ ^ '^o*'

OscuLATRicES (CouRBEs). - Leur définition. 53<j

Padula. — Remarque relative aux points singuliers ; ' ' ■/

Plan tangent. — Démonstration géométrique de l'existence du plan tangent en un point d'une surface • • • • •

— Le plan tangent d'une surface est à dis-

lance infiniment petite du second ordre de tout point de la surface infiniment voisin du point de contact • • •

— Condition pour qu'un point puisse être

substitué à un autre dans la détermination d'un plan tangent

— Détermination géométrique de quelques

plans tangents

— Équation du plan tangent à une surface.

— Détermination de quelques plans tan-

gents 98 et

— Remarque relative aux problèmes précé-

dents

— Plan tangent d'une surface réglée

— Cas où la surface réglée est développable.

Poinsot. — A levé le premier les difficultés relatives aux développements de sinwj" et de cos mx en séries ordonnées suivant les puissances de sinj; et de cosj;.

— A le premier précisé le sens des formules sur le développement des fonctions angulaires ^^^

Poisson. — Objection à la formule

[icoix)'" = cou nix + m cos [m — '2)x + ...

donnée par Euler ^84

Produits infinis. - Expression remarquable de Tz sous forme de produits infinis.

— Développement en série du produit

— Développement de

{1+XZ)[L+X'Z){1+X'Z)

— Développement de (I +^(i +x')[i+x')

— Développement de

io3 1 - Développement de e"" en produit ^^^

TABLE ANALYTIQUE

— Expression de

No»des§§ [ Produits infinis.— Condition deconvergence Produits infinis

■ de I +a,){i+aj...(i+aj,...

a , a.„ ... a„ étant réels et de même signe 4oo

— Quels que soient les signesdea,,a2,...a,,,

le produit est convergent lorsque les deux séries

sont toutes deux convergentes 401

— Produits dont les facteurs sont imagi-

naires 4o3

— Expression de sin x sous forme de pro-

duit infini 4o4

NOS dos §§ Expression de cos x.. 4o5

^ . , COS.r— COS/7

Expression de — ; 406

I — cos a

COSOr + COSfi

I + COS a

Expression de cos x — tang - « sin jc .

— Expression de

(f-\-ec' — e~

Expression de cos x-\- tang -a?,mx 407

Rebroussement (Point de). Voy. Singulier.

— Le rayon de courbure est nul en un

point de rebroussement de première

espèce 5oi et 5oa

RÉSIDU. — Définition du résidu d'une fonction 434

— Toute fonction qui devient infinie n'a pas

un résidu correspondant 435

— Trouver le résidu d'une fonction donnée

pour une valeur de la variable qui la rend infinie 436

— Notations employées pour représenter les

résidus , 438

— Si 'S/ {x) devient infinie pour x =a, la

différence

^^^^ 0[x-z)[{z-a)^ conserve une valeur finie 439

— Application du théorème précédent à la

décomposition des fractions rationnelles 44 1

— Somme des résidus d'une fraction ration-

nelle 442 et 443

RÉSIDU. — Changement de la variable indépendante dans un résidu 444

— Application de la théorie des résidus à la

démonstration de quelques séries 447

— Application de la théorie des résidus au

calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation 448

— Extension au cas de deux équations à

deux inconnues 45o

Roberts (William). — Remarque sur un mode de transformation des courbes qui n'altère pas l'angle sous lequel elles se coupent 90

Roche. — A donné une expression du reste

de la série de Taylor 275

Rodrigues. — A donné le premier une expression remarquable de la fonction désignée par X„ 355

— Propriété caractéristique des lignes de

courbure 669

Roulette. — Rayon de courbure d'une roulette ". 5o6

ScHLOMiLCH. — A donné une expression du

reste de la série de Taylor 276

Sections principales. — Leur définition.. . 627

— Moyen de les déterminer 633

— Relation remarquable entre des varia-

tions relatives à deux déplacements effectués suivant les sections principales 636

— Surface dont les lignes de courbure sont

des sections principales 700

Séries. — Définition d'une série convergente

et divergente 220

Séries.— Sommation immédiate de quelques séries 221, 222, 223 et

— Sommation de quelques séries par la dé-

composition en séries plus simples 225 et

— Transformation d'Euler pour les séries

ordonnées suivant les puissances de x. .

— Nécessité de n'employer dans la transfor-

mation que des séries convergentes. . .

— Remarque curieuse à ce sujet

— Seconde démonstration qui donne une

limite de l'erreur commise 252

TABLE ANALYTIQUE

NOS des §§ SÉRIES. — Sommation par la méthode de Stirling ^53 et

— Méthode de M. Kummer. . . 255, 256 et

— Multiplication de deux séries à termes

réels et positifs

— Multiplication de deux séries telles, que

les modules des termes forment une série convergente

— Développement de fl"" '^80

— Développement de 1 (1 H-o:) aSi

— Singularité que présente cette série

pour x= I , lorsque l'on groupe convenablement les termes ^82

— Développement de ( i + x)'" 283

— Condition do convergence de la série pré-

cédente, pour x= i 284

— On peut, du développement de ( i + ^)'",

déduire celui del (i4-.î^) ^^5

— On peut également en déduire le déve-

loppement de arc sin a- 286

— Et celui de ( i — 2a.r+a')~"^ 288

— Définition et expression de la fonction

nommée X„ ^^^

— Développement de sin j»; 289

— Développement de cos a: 2,90

— Développement de cos nix en série or-

donnée suivant les puissances de sin x. 291

— Développement de sin mx en série or-

donnée suivant les puissances de sin x. 292

— On en déduit le développement de x en

série ordonnée suivant les puissances

de sin x ^94

— On en déduit aussi les développements

de sin x et de cos x en séries ordonnées suivant les puissances de x 295

, sinw.r

— Développement de

No»des§§ le développement de la dérivée ne contient pas de terme en - 3 1 4

SÉRIES. — Démonstration de la formule de

Lagrange par Jacobi 3i 4

— Développement de {i—'iax — x^)''^ déduit de la formule de Lagrange 3i5

Développement de ( . 1 3i6

3ig

en série orcos'" X

donnée suivant les puissances de tang x.

— Développement de arc tang x

— Développement de arc tang (^4-/0

— Diverses conséquences de cette formule .

— Développement de arc sin x

— Développement de (arc sin) ^

— Développement de j: cot or

— Développement de -^—

- et de -j— —

3oo 3oi 3oi 3o2 3o3 3o4

— Racine de l'équation du second degré dé-

veloppée par la formule de Lagrange.

— Racine de l'équation x^^' + ax— b = o.

— Racine de l'équation

n^ = a^x+a.j,x^ + ... + «„ a." développée suivant les puissances de a^.

— Théorème de Cayley 32o

— Série de Burmann 32i

— Application au développement de e"^ en

série ordonnée suivant les puissances

de 26'*" , 322

— Série d'Abel 323

— Développement en série de quelques pro-

duits infinis 327 et 33o

— Puissance n'""" d'une série 33 1

— Théorème d'Eisenstein démontré par

M. Sylvester 332

— Série de Stirling 333

— Formule de M. Boole 334

— Formule de M. Tchebitchef 335

— Limites hors desquelles le développement

d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est impossible • •

— Développement de 1 ( i + z) lorsque z est

imaginaire

— Série remarquable déduite de la précé-

dente : • ■ 382

— Développement de (i +z)"' lorsque 3 est

imaginaire 384

— Développement de

— Divers développements déduits de celui

de X cos X 3o6

— Série de BernouUi 309

— Application de la série de BernouUi au

calcul numérique de /ï et de y/3 3io

— Série de Lagrange 3i i

— Généralisation de la formule 3i2

— Quelle est la racine développée 3i3

— Lorsqu'une fonction est développable en sé-

rie ordonnée suivant les puissances dex,

Développement de tang .r et de cosécx. 388

j^ Développement de (i — 2 az4- a') ^ expression des coefficients 389

Développement de la fonction 7 définie par l'équation

tang j= cos a. tang X 390

Démonstration des formules

cot .r =

tang X —

sm a Tç

SÉRIES. — Démonstration de l'équation

TABLE ANALYTIQUE

4io

Démonstration des séries

— Déve}o[>pen>ent de .r' en série ordonnée

suivant les puissances de sin j:- 4i5

— Quelques séries déduites de la théorie des

résidus.

— Emploi des séries pour trouver la véritable

valeur d'une forme indéterminée

458, 459, 460 et