DÉTERMINANT D'UN SYSTÈME DE FONCTIONS
Définition des déterminants.
68. Lorsqiron résout un syslëine d'équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, les formules qui expriment les diverses inconnues ont un dénominateur commun que l'on nomme le détenninanl du système des coefficients. D'après cette définition, toutes les fois que le système de lî^ quantités est dispose en oroupes de 7i lignes contenant chacune n de ces quantités, il y a lieu de considérer le déterminant du systàme. On représente habituellement un déterminant en écrivant la lettre D à la gauche du carré où sont inscrits les coefficients qui servent à le former; on a, par exemple, . ^
— ab' c" — a c' b" + b c' a" — b a' c" + c a' b" — c a" b'.
La théorie des déterminants appartient à l'analyse algébrique. Nous nous bornerons à rappeler l'énoncé des théorèmes fondamentaux qui seront invoqués dans ce chapitre.
•69. Pour qu'un déterminant soit égal à zéro, H faut et il suffit qu'il existe une même relation linéaire entre tous les teimes d'une même ligne, soit verticale, soit horizontale.
Ainsi, par exemple, pour que l'on ait
il faut et il suffit qu'il existe quatre facteurs, >,,),, h, >., tels que l'on ait
À, a + A> a' + h a" ■+■ >< «'" = o, A, Z> + >i ^' + h b" + h b'" = o, l,c + hc' -h >3 c" + >4 c'" = o, l,d+hd'-hl>d" + hd"' = o.
70. Le produit de deux déterminants formés par un même nombre de lettres peut être mis sous J orme de détej minant.
Si l'on considère les deux déterminants
n\, '«",, ci',,..., al
b'\, b",, //',..., b'I leur produit est égal au déterminant
dans lequel les éléments sont définis par l'équation
qui fait connaître l'un quelconque d'entre eux lorsque les nombres k et i reçoivent successivement toutes les valeurs i, 2, ?>,..., n.
Nous regarderons les deux théorèmes précédents comme bien connus, et nous ne nous arrêterons pas à les démontrer.
Définition du déterminant d un système de fonctions . 71. Si l'on considère n fonctions de /i variables indépendantes
0, (.r,, X„ X-,,. . ., X„), f2 [Xt, X„ X:„. . . , X,,),. . ., ff„ [x,, X^, X,,. . ., Xn],
les dérivées de ces fonctions, prises par rapport aux diverses variables, sont au
nombre de /?*. savoir
doi d^i d<f, d<f,
ftx, dx j dx:^, dx„
d^i f/œ, dti-<
dXi dx-i da
dffi dx„
do„ dvf,, d<^„ dtsi,,
dx . dx -2 dx ' dxn
LIVRK l'REMlEU. - ÉTUDE DES DIFFÉUENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. (.3
Le déterminant (\{i système de ces n' dérivées a été nommé par Jaco})i le déterminant du système des fonctions, et, en adoptant la notation proposée par quelques ii:éoniètres, nous le représenterons par
J) (oi, y,, y;;, ...,?,;)
J.J yJ^{, X-i, X3, . . ., X,ij
Si, j)ar exemple, ^(x', y) et 6{.T,y) sont deux fonctions des variables x et j, on aura d'après cette notation
] 1) ((y,-]/) d<fd-]> d^ d-jj
D [x, y] dx dy dr dx
72. Le déterminant d'un système de fonctions joue, dans l'étude simultanée de plusieurs fonctions contenant un nombre égal de variables, un rôle analogue à celui (jue joue la dérivée dans l'étude d'une fonction d'une seule variable. Le but de ce cliapitre est d'indiquer cette analogie, qui se manifestera mieux encore j)ar la suite.
La dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de cette fonction a l'accroissement correspondant de la variable.
Le délenninant d'un système de fonctions peut recevoir une définition analogue qui résulte du tbéorème suivant :
Si l'on considère n fonctions ©,, (^o, (^3,. . ., ç,,, contenant chacune n i-ariables x^ , .To, x^, . , . . .v„, et que l'on attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour chaque fonction, un accroissement correspondant. Si l on choisit arbitrairement n systèmes différents d'accroissements pour les variables, il en résultera pour les fonctions n systèmes d'accroissements correspondants . Le déterminant du système des fonctions est égal au rapport du déterminant du système d'accroissements des fondions au déterminant du système correspondant d'accroissements des variables.
Soient, en effet,
diXt, diX., . . . , diX.,,
d„Xi, dnXi, . . . , d„x„,
les ;/ systèmes d'accroissements infiniment petits attribués successiveuïent aux n variables, x^,a:2, .^3, . . ., a„; l'accroissement d'une fonction ç, (.r,, a\., . . . , x„) est (56) de la forme
d" (f, = -: — dk X, -h -~ dk x,-^ "• + -J — dk X.,,
«.r, dXi . dx„
qui représente successivement tous les accroissements considérés, quand on v
attribue aux iudicesX: et /toutes les valeurs entières depuis i jusqu'à /i; mais d'après celte expression de r/^ç/, on voit (70) que le déterminant du système
d' 0|, d' Os^ ■ • ' ■) d' ©„,
r/"çp,, d"'i:, . . ., r/"î),„ est le produit de deux autres déterminants, savoir ceux des deux svstènies
et
do,
doit
dXi '
dx j
dx„
dX:!
■' dx,:
ilx,
dx.
ux„
■ . diX,„
d. Xj , . .
dnX,, d„Xj , . . . , d„x„.
On en conclut que le déterminant du système !>, c'est-à-dire le déterminant du système des fonctions proposées, est le rapport du déterminant du système (A) au déterminant du système (C;, c'est-à-dire le rapport du déterminant du svstème d'accroissements infiniment petits des fonctions, au déterminant du système d'accroissement correspondant des variables. Le théorème est donc démontré.
Cas ou le déterminant est nul.
73. Lorsqu'une fonction d'une variable est constante, sa dérivée est nulle. Il existe pour un système de fonctions un théorèine analoi>ue.
Lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, c'est-à-dire lorsqud existe entre elles une relation nécessaire, leur déterminant est égala zéro.
Montrons d'abord l'analogie de ce théorème avec celui dont nous le rapprochons et dont l'énoncé parait très-différent.
Lorsqu'une fonction ç [x] d'une seule variable n'est pas constante, à chaque valeur de la fonction correspond une valeur déterminée de la variable, et l'équation (i) ' o{x') = r
UMWi PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 6fi
peut être résolue par rapport à x. Si au contraire la fonction © est constante, en donnant sa valeur, on ne détermine pas a? dont cette valeur est indépendante, et l'équation ( i ) ne peut plus être résolue par rapport à x.
Si l'on considère maintenant deux fonctions es, '.r,, .r.^j, o^ (x,, x.,) et que l'on pose
ces deux équations peuvent être résolues par rapport à x^ et à x., pourvu que les fonctions çj, etfpo soient distinctes et indépendantes; mais s'il existe entre elles une relation nécessaire, l'une des équations devient une conséquence de l'autre, ou bien elles sont incompatibles, et dans l'un et l'autre cas il n'est pas possible de les résoudre par rapport à x^ et à a^j.
L'analogie que nous avons signalée consiste, on le voit, en ce que, dans les deux cas, les valeurs des fonctions étant supposées connues, ne déterminent pas les valeurs correspondantes des variables; il en est évidemment de même pourn fonctions, lorsqu'il existe entre ces fonctions une relation indépendante des valeurs assignées aux n variables dont elles dépendent.
Démontrons actuellement le théorème énoncé : lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, le déterminant du système de ces fonctions est égal à zéro.
Soient 9,, ©2» 93» • • • ' 9/* les fonctions considérées, et (3) F (y„ ?,,..., ç„i = o
une relation a laquelle elles satisfont identiquement, c'esl-a-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux variables x^, x^, . . ., x^ dont elles dépendent-
De l'équation (3) on déduit, pour un système d'accroissements infiniment pelils quelconques de 9, , ç^» • • • > Ç/m
^F , d¥ , dY ,
r/ç), dfi (iifu
en sorte que, si l'on considère n systèmes d'accroissements attribués aux fonctions ©,, çjo, • • • » ©«, et qu'on les dispose sur n lignes horizontales, afin de former le numérateur de la fraction qui représente (71 ) le déterminant du système de fonctions, il existera une même relation linéaire entre les n termes de chaque ligne horizontale. On sait qu'un tel déterminant est nul, le déterminant du système de fonctions, dont il est le numérateur, est donc égal à zéro. C'est ce qu'il fallait démontrer.
74. Réciproquement, si le déterminant du système de n fonctions cp,, 9^ ?"•
est égal à zéro, il existe entre ces n fonctions une relation indépendante des valeurs attribuées aux variables.
<^*î PIŒMlÈRi: PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Supposons, en effet, qu'une telle relation n'existe pas; on pourra alors attribuer à©,, 9,, ..., 9„ des valeurs arbitraires et indépendantes les unes des autres, et il en résultera pour x,, .r.,, . . . , x„ des valeurs correspondantes déterminées. Posons don(;
Si nous attribuons à ces fonctions des accroissements infiniment petits, df^^, do., , . . . , d(^,„ a-t, .ro, . . . , x„ prendront des valeurs nouvelles, et recevront des accroissements déterminés dx,, dx^, . .. , dx„ qui satisferont (56) aux relations
d<3^ da^ , dfs>. , ,
-y- dx^-\- ~ dx. H- ... -h -y— dx„ = c/œ, , ajr, dx, dx„
dfn , , ^/cp„ , </»„ , ,
-; — dx, H- -^ — rf^iT. H- ... H- —^dx„ = ^/ a)„ , dx, dx 2 dx„
lesquelles sont par conséquent compatibles, quels que soient rYo,, dc^^, . . . , da„. Or cela ne peut être, puisque, par hypothèse, le déterminant du système des coefficients est égal à zéro; il y a donc contradiction à admettre que o,, (Qo, .. ., ç„ puissent recevoir des accroissements arbitraires, c'est-à-dire à regarder ces fonctions comme indépendantes.
Déterminant d'un système de fonctions de Jonctions .
75. La dérivée d'une fonction de fonction Y iu) par rapport à une variable ^• dont u dépend, est le produit de la dérivée par rapport à w, -7^ par la dérivée ^ de u par rapport à x.
Ce théorème se généralise de la manière suivante :
Si n fonctions (fj, ©j, ...,(p„ dépendent immédiatement de îi variables i/,, ii.^, ..., u,^ et que /^, , u.,, ..., m„ soient elles-mêmes des fonctions de x't , x.,, ..., x„ ; le déterminant du système des fonctions 9, , 92» ■ • • ♦ <p«. P^^f rapport aux variables x^ , x^, . . . , x„, est le produit du déterminant de ce système de fonctions par rapport à u^,u.,, ..., u„,par le déterminant des fonctions m,, u.^, ..., u„^ par rapport à x,, Xo, ..., x,^. En sorte que l'on a
DJ^i, q/,, . . . , ï-„) D (^1 , ç,, . . . , (f„) D («1, (t., . . . , u„)
l) [x,, X., . . . , Xn) iy [u,, Ui, . . . , u„] D (^1, .r,, . . . , x„) Donnons en effet aux variables x,, x.^, ..., it„, n svstèmes d'accroissements infini-
LIVIU: intEMll'H. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES.
inonl petits
^/i X, (l^ X-, ... di x„ , d, X, d, X. ... d. x„ ,
Al
d„ Xi dnX. . . . d„x„ , il en résultera pour it,, u.^ //„ des accroissements déterminés
d, //, d, H. ... di H,,, d, u, d, II. . . . d, u„,
dnUi dnU, . . . d„U„,
et pour (p,, ©o, ..., 9« les accroissements correspondants
dt cpi «1 f-. ... «I »„ ,
i«pi
Le déterminant de 9,, ^2. • • • » Tn» P^i' rapport à oc,, x^, . . . , x,,, est égal au rapport du déterminant du système (C) à celui du système (A).
Le déterminant de ©,, ©2» • • • j9«» pai' rapport à w,, m^, . . . , m„, est égal au rapport du déterminant du système (C) à celui du système (B).
Le déterminant de w,, m^, . . . , w„, par rapporta^,, x~,, . . . ,07^, est égal enfin au rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A). Et il est évident, d'après cela, que le premier de ces trois déterminants est égal au produit des deux autres. Ce qui démontre la proposition énoncée.
Déterminant d'un système de fonctions inverses.
76. La dérivée par rapport* à x d'une fonction (p [x] est l'inverse (32; de la dérivée de x par rapport à ç.
Ce théorème se généralise de la manière suivante :
Si 9o ©2' •••»?« sont fonctions de x,,X2, ...,x,„ réciproquement x,,x.,, ...,x„ peuvent être considérés comme des fonctions c^e ç,, ç^» •••» ?«• ^^ déterminant des fonctions ;p,, ç-j, • • • , ©«, par rapport à x,, Xo, . . . , x„, est égala l' unité divisée par le déterminant des fonctions x,, x^, ... , x,i, par rapport aux variables 9, , «p j, . . . , ç,,.
Soient, en effet,
d, X, d, Xy ... diX„ ,
d-iXi d.x. . . . d-iX,,, dnX, d„Xi . . d„x„.
n .systèmes d'accroissements des variables a?,, x^, ...,a:-,,, et les accroissements correspondants de 05, , ©2. •• » ?«• Le déterminant de &,, 9.^, . . . , 9,,, par rapport aux variables x^,x^,..., x,„ est ( 71 ) le rapport du déterminant du système ( B) à celui du système (A); et le déterminant de x^, x., ..., x,^, par rapport à ©,, 92, •••, 9« considérées comme variables, est le rapport du déterminant du système (A ) à celui du système (B), ce qui rend la proposition évidente.
Exemple. — Si l'on a deux équations
et que l'on en déduise
on aura la relation
««Pi a^i dx dy
d<f, dfj dy dx
dx dy du dv
dx dy dv du
On peut vérifier directement cette formule au moyen des règles données (6i) pour la dii'férentiation des fonctions implicites.
Pour calculer, en effet, -7^5 '-j-^ —^ '^1 au moyen-des équations (i), prenons successivement les dérivées de ces équations par rapport à u, en traitant (\comme constant, puis par rapport à^, en traitant u comme constant. Nous aurons
ricp, dx dx du
dy
dy du
dvf2 dx dx du
dy
du
^/çp, dx c^îp, dy^
dx dv dy dv
d (p2 dx d f2 dy
dx dv dT dv
on en déduit
dx dy
dx
dy
dy
du diji d(f2 f/oj/i d(f2 dx dy dy dx
df.
dy dx
dtft df. dfi </<p..
dx dy dy dx
d<f, dx
du drsji dtf, dtf, ^^2'
doi du^ï r/cp, d^i-
dx dy dy dx dx dy dy dx
ol la substitution de ces valeurs dans la formule (3) la rend identique. *
Réduction du déterminant à un monôme.
77. Le théorème au moyen duquel on a transformé (71) la définition du déterminant, laisse arbitraires les « systèmes d'accroissements infiniment petits attribués aux variables x^, x^, . . ., x„; il permet, par conséquent, de donner au déterminant plusieurs formes distinctes : nous nous bornerons à indiquer la plus remarquable, qui le réduit à un seul terme.
Parmi les ^n quantités, x^, x^, . . .,x„, /,,/,, • • .,/«, on peut en choisir n à volonté, les autres sont alors déterminées. Si donc on suppose que n — i d'entre elles restent invariables, toutes les autres devront changer à la fois et les rapports de leurs accroissements infiniment petits seront déterminés. Cela posé, nous supposerons que les n systèmes d'accroissements simultanés attribués aux variables soient compris dans le tableau suivant :
, fl?i X, ,
d^Xi,
dJ.,
dS,
dj..
La première ligne de ce tableau indique que les premiers accroissements infiniment petits attribués à a^,, x., ...,x,„ sont tels, que/2, /g, ...,/, ne changent pas, ce qui, comme on l'a dit, détermine complètement leurs rapports. La seconde ligne montre que les seconds accroissements adoptés, savoir d^x,, d^x^, . . . , d^x,,, sont tels, que/,,/,, .. . ,/„ ne changent pas, et l'on suppose, de plus, d.^x, — o. Cela détermine encore les rapports de tous les accroissements, puisque, comme dans le cas précédent, n — i des quantités considérées sont supposées invariables. Enfin la dernière ligne montre que dans le n'^'"'' système d'accroissements, Xt, x.^, . . . , x„, restent invariables.
Après avoir profité ainsi de la liberté laissée par l'énoncé dans le choix des accroissements simultanés, on aura (71 ) l'expression du déterminant du système, en divisant le déterminant des quantités contenues dans le carré de droite par celui des quantités contenues dans le carré de gauche, mais, à cause des termes nuls, chacun de ces déterminants se réduit évidemment au produit des termes placés dans la diagonale, et leur rapport est
^^ d^j\ cUf.. d,j\ ... dj„ ^ IdJ^ \ liUfA ^ ^ ^ / dj„
diXi dïXî d^x^ ... dnX„ \dixj \diX2l \d„x„;
Il est donc, comme nous l'avions annoncé, réduit à un seul terme. Pour comprendre la signification des rapports ( Jr-^ ) ' ( T""^ ) ' • • " ' ( -/^ ) ' '1 f^ut se reporter au tableau (A).
On voit par ce tableau que -4^ est le rapport de l'accroissement de /, à celui
de x^, lorsque /a, /a, ... ,/„ sont supposés invariables; il faut donc, pour le calculer, exprimer/, en fonction des variables^,,/,,/, ...,/„, et prendre la dérivée du
résultat par rapport à a;, : de même y-^ est le rapport de l'accroissemenl de /j à
celui de Xo, quand Xiyf^^f^, . . . ,fn sont invariables; il faut donc, pour le calculer, exprimer /j en fonction des variables ^4, x^, /,, . . . ,/«, et prendre la dérivée du résultat par rapport à. Tj. En continuant ainsi, on verra que pour calculer les facteurs du produit (i), il faut mettre les équations qui lient les in variables x^^ .Xo, . . . , x,t^ f\ifi-> • • •' fin sous la forme suivante :
J \ = r \ [X ^ , J-, , J-^ , . . . , . . . ,Jn), J-2^^^ t 2[Xi , X2, J.1 , . • . , . ■ . , Jnji J; =^ -T 3 ( -^1 ) -^2 > -^3 » ,/ 4 > • ■ ■ y Jnjf
J II -f H ^-^1 , X^, . . . Xfl] ,
et le produit des dérivées -r~-> ■—•> •••? -4^-> est alors le déterminan t cherché. ^ dx ^ dx-, dx„
Comme application, cherchons le déterminant du système suivant :
^ = p ces 6,
■^• = p sin 6sin-A,
z = ^ sin ôcos ^,
,0, 0 et 'b étant les variables indépendantes.
On déduit de ces équations,
j = p sin 9 sin •^.
Sous cette forme, l'expression de z ne contient que l'une des variables [j, 5, ô, celle de x en contient deux, et celle de y enfin les contient toutes trois. Le déterminant est donc, en vertu du théorème précédent,
(Iz (Ix dy p , . , .
(lo (19 (I-^ z ^ ' ' ^ ^ '
EXERCICES
1. La condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions d'un nombre quelconque de variables dépendent l'une de l'autre, est que leurs dérivées partielles, par rapport aux mêmes variables, soient proportionnelles.
2. La condition nécessaire et suffisante pour que n fonctions de n -h p variables aient entre elles une relation indépendante de ces variables, est que les déterminants des n fonctions, par rapport à n quelconques des variables, soient égaux à zéro.
3. Si deux angles n et c^ sont liés à deux autres angles 9 et ■^, et à trois constantes m, n, p, par les équations
cos M sinwcost' sin m sine
mcosQ nsiriQcosi/ /?sinOsini}* le déterminant des fonctions u et v^, par rapport à 9 et i|/, est
mnp sin 0
sin a (m'cos'ô-l- w'sin'9 cos'iJ> +/;^sin^9sin'>!;) -»
4. Soient «,, "^ , • • , u,i, n fonctions distinctes de n variables x, ^ x,,. . . ,x„.Si l'on établit ••ntre ces fonctions une relation
F, [u,, Ui, . . .,u„] =o,
on pourra, en vertu de celle relation, exprimer l'une des variables, Xn par exemple, en
fonction des n— i autres, et il sera permis de regarder m,, W2 ,. • ,"„,, comme loiiriionsde
x^, x>, . . . ,Xn-y ; on aura alors
D («I, Ui,. . . , a„, ) __ du,, l) (u,, U;,. . . ,u„)
l){xt,x,,. . .,x„^i] dFtl) [Xi,x-i,. . . ,x„)
dXn
la dérivée -r— ' étant prise en ayant égard à ce que u,,U2,. . . , u„ sont des (onctions de x„.
5. Les données étant les mêmes que dans la question précédente, si l'on se donne une seconde relation
Fî (M|, M-i, . , . , l(„) = 0,
et que l'on regarde, par suite, u,, u., . . . ,?/,.2, comme fonctions de:t|, x-,, ■ . . ,x„-i, on aura
D (Fi, F;) \)[u,, u,,. . .,«„,) D (Fi, F2) 1) (f/i, «,,. ■ .,u„) D [x,„ x„^x) \) [x^,x-i,. . .,Xn--t) D («„,«„,) \)[Xi, X,, . . .,x„)
