Dérivées de arc tang a;. — On a

d arclangx

dx r/^arclang^

sin mil.

dx' [\^x-'-Y

d^ arc langx 6x- — 2

dx' ~" .(1+^']'"

11 est facile de continuer les opérations , mais les résultats se compliquent de plus en plus, et la loi générale n'apparaît pas d'elle-même. Pour la découvrir, remarquons

qu'en posant

it = arc lang x , on a

du I

dx~ i + x'^

on en conclut

t/"+' u \J'dx"-*-- ~"

liln réduisant au même dénominateur les deux fractions qui sont dans la parenthèse, on verra les imaginaires disparaître et l'expression de la dérivée prendra une forme réelle.

On obtient un résultat élégant en posant

on a alors

cosr = sin u

sin j = CCS

X -H v/— ' = v^H-.r'[cosj-f- \/— I sinj^-], x— \/—i = v/i -i-x^[cos j— V— I sin r]>

mais le théorème de Moivre donne, pour toute valeur positive ou négative de w.

(cosjT + y/— I siii x)'" = cosmx + \J—i ain mx , (cos.r — y/ — I sin x)'" = ces mx — s/— 1 sin fnx.

lii PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Par conséquent,

et comme on a d'ailleurs

= sin"-+-' r,

il en résulte

-^^^^ =i.2.3...«(-i)''+'sin"+'jsin(w + i) j.