V- n{n-i){n-p-hi)fi-x\P ^ U-xy

i.2.3.../> \i + .r; "^ — \^,^^jj"

11 sera utile de remarquer que les coefficients des puissances de ^—^ dans la

parenthèse sont tous moindres que l'unité. Le rapport du coefficient de

à celui de ( - — '- \ est en effet

in — 2/> — I j (j9 4- ij

Or ce rapport est moindre que l'unité lorsque l'on a n —p>p + i, c'est-à-dire n > 2/? + I , et il est au contraire plus grand que l'unité lorsque l'on a n < 2y? -h 1 .

Les coefficients vont donc en diminuant depuis le premier jusqu'au coefficient minimum, et ils augmentent ensuite depuis celui-là jusqu'au dernier. Les coefficients extrêmes, qui sont l'un et l'autre égaux à l'unité, sont par conséquent plus grands que tous les autres.

Valeur numérique de quelques dérivées lorsque l'on suppose la variable

nulle.

146. On a souvent besoin de calculer ce que devient une dérivée pour une valeur numérique attribuée à la variable, et particulièrement lorsque, après l'opération, on suppose celle-ci égale à zéro. Les questions de ce genre se résolvent quelquefois à l'aide d'artifices particuliers, dont nous allons donner quelques exemples.

Dérivées de arc tang x, pour x = o. — Il n'est pas nécessaire de recourir à l'expression générale de la dérivée pour déterminer la valeur qu'elle prend lorsqu'on y suppose x^^ o.

On a, en effet, et posant u = arc tang x , \ ■

du I

dx 1-+- Xd^u IX

Jx" ~ ~ [i + x')- '

et par conséquent

,, d"^ a du

^ ' dx- dx

En différentiant cette équation (n—i) fois, et faisant pour cela usage du théorème connu (139), on en déduit

^ ' dx- ' ' dx" ^ '^ ' dx"-' dx"

et en supposant x — o.

on en déduit, si « + i est impair, et en remarquant que (^) = î,

= i — il" 1 . 2. 3. . ./<.

dx"^

Si 71 -+- I est pair, en remarquant que (-r-^ ) = o, on déduit de la même équation

i'd"^'u \dx"^~' ' ~^'

^^g * PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.