Dérivées de arc sin x, pour x — o. - Si l'on pose

u = arc sin x ,

on en déduit

du I

dx ~~ ^i — x'

dT * dx'

sj'x — x^àx

et en cliassant le dénominateur

, d'^u du

^'-^'^d^^-^Tx-''' En différentiant n-^ fois cette équation et taisant usage du théorème connu (139), il vient

et en supposant ^^ o,

Si («-+-!) est impair, en remarquant que (^^j =r, on en déduit %'

\ dx"+' I „

et si Ai H- 1 est pair, on a

\dx-^'Jo 148. Dérivées de {arc sin x)\ pour x = o. - Posons (arc sin .r ;^ = u, on en déduit

du 2 arc sin x

dx ~ y/T — ^2

dui 2 0.x arc sin x 2 ^ ^(^ ^

J^T = , ^^ "^ 1~ " ru .r^ 1 — .r' dx '

par conséquent

.d'^u du

En différentiant [n— i) fois cette équation, on a

rln+\,, fin,, ^ (["'' U d"U , \ d""' U

et en faisant a; = o ,

n-xy -7-r— =o,

et cette relation permet de calculer les dérivées successives, on a, si «+ i est impair,

\ dx''+' ] , et lorsque «H- i est pair,

149. Dérivées de x cot x, pour x = o. — Posons x ç,oix=^ u, on a évidemment

(i) • X cos^ = M sin .r ;

différentions n fois les deux membres de cette équation, on aura, en appliquant la règle relative à la dérivée d'un produit,

d"cosx d"-'cosx __ d^s'inx du d"-'s\nx n{n — i) d'u d^-'sinx

"^'"ll^' ^"^ r/^"-' ~" dx" '^''Ihc' dx-^ '^ 1.2 dx^ dx"-^

-+- sin X —, — dx"

Si, dans cette équation, on suppose x=^o, le terme en -i-^ disparaîtra et l'on

aura l'expression de . ,^, en fonction de toutes les dérivées précédentes; en faisant successivement nz=\, 71=2, n=:3, . . ., on trouve

du d'U __ 2 d^ u

' dx ' dx"^ 3 dx^

et ces premières valeurs étant connues, l'équation (2) permettra d'en déduire les dérivées successives.

On peut remarquer que toutes les dérivées d'ordre impair sont égales à zéro; la fonction x cot x est en effet une fonction paire, c'est-à-dire qu'elle ne change ni de signe ni de valeur quand on y remplace x par —x; en la désignant par <^{x),

on a donc

et, en prenant les dérivées successives de cette équation,

On en conclut, en faisant oc — o, que, pour toute valeur impaire de n, et par suite

On trouve, en faisant les calculs numériques,

(lu\ (d''u\ ?. l(Pu\ fd^u\ o iuu\

"75' \d^')~''' \d'^),'~~'if6^'

d'u\ fd'u\ 8064

dx^ J 0 ' \da,'' /„ iy\5