Dérivées de ? pour .t = o.— Posons = w, on en déduit

( I ) X =:^ lie" Il ,

et en différentiant

du du

i = e" —j \- lie-' — -3— •

ax ax

En différentiant n fois de suite les deux membres de l'équation (i), on trouve

d"u d"-' u nin — i) d"~^u d"u

dx" dx"~^ 1 . 2 dx"-^ dx" '

et si l'on suppose ^ = o ,

d"~^ ii\ n in — Il / d"~'- u \ [ du

dx" "' y» ' i '2 \dx"~'' y„ ' \dx

Cette relation permet de calculer l'une des dérivées lorsque l'on connaît toutes les précédentes; Wo est égal à l'unité. Le rapport — -7— •> lorsque^ est infiniment petit, est, en effet, la dérivée de e^, qui pour 3c = o se réduit à l'unité, et il en est évidemment de même du rapport inverse • On a, en effectuant les calculs.

j'du\ I fd'u\ 1 1 d^ u\ /d''u\ __ I (d'u

" "^ ' \dx ) 0 2 \dx^ J „ G \dx^),^ ' \dx'*Jf, 3o ' \dx=

Z7^/„~4^' V^jo"*"' \Z^),~"~3^'\d^l,~'''

/d''u\ 6qi /d''u\ __ /d'^uX 7

d^'uX 5 id"u

dx'" 0 66 \ dx

Toutes les dérivées d'ordre impair sont égales a zéro, à l'exception de la pre-

niière '-!-• On peut en donner la raison à priori, et indépendamment des calculs précédents; la fonction

est en effet, comme on le vérifie aisément, une fonction paire de x, et, conime on l'a vu plus haut pour accota;, il en résulte que les dérivées d'ordre impair sont nulles pour ^ = o; or ces dérivées, à l'exception de la première, sont les mêmes

que celles de —