Dérivées de cos { m arc sin x ) , pour x =zo. — Posons
« = cos(marcsin ^),
on en déduit
du msinfmarcsin^]
dx sji—x'
d'^u — mx . , . , m^ cos (m arc sin ^] — = sm marcsm,a7 -r r;
dx"^ ( I — x'']\Ji — X et l'on en conclut
, d^u du
' dx^ dx
En différentiantyD fois cette équation, on obtient
,dP+^u dP+'u , , dfu dP^'u dP u dPu
I — x^] 2p.r -, — — - — p [u — I -, — — X —, — p -j—- — h '"" -jT— - =:r o,
^ ' dxP-^' ^ dxP+' ' ^^ ' dxP dxP-^' ' dxP dxP
OU, en faisant x=^ o,
/dP+'u\ , , (dPu\
D'ailleurs, pour x^=o, on a w= i, ^-=0. Par conséquent l'équation précédente montre que toutes les dérivées d'ordre impair sont nulles. Quant à celles d'ordre pair, on les déduira successivement les unes des autres, puisque l'une quelconque d'entre elles se trouve liée à celle qui précède de deux rangs. On aura ainsi
L'étude de la fonction précédente a donné lieu a de graves difficultés (|ue nous préviendrons en donnant, dès à présent, quelques explications sur le résultai précédent.
La fonction cos (m arc sin x) estune fonction mal définie, et, sous un même signe.
laO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
elle représente en réalité plusieurs fonctions différentes dont le nombre peut même devenir intlni. L'arc dont le sinus est x n'est pas unique en effet, et l'on sait au contraire qu'il en existe un nombre infini; en multipliant ces arcs par m (qui est quelconque), les produits auront en général des cosinus différents, en nombre égal au double du dénominateur de m si m est commensurable, et en nombre infini si m est incommensurable.
Toutes ces fonctions différentes ont-elles les mêmes dérivées?
Le résultat que nous venons d'obtenir semble décider la question, au moins pour la valeur particulière x = o, et puisque nous n'avons trouvé qu'une seule valeur, on peut se croire en droit de conclure qu'il n'en existe qu'une. Ce serait là pourtant commettre une erreur grave. Le calcul précédent est fondé sur deux suppositions qui particularisent la fonction à laquelle il se rapporte. En premier lieu, après avoir posé
w = ces m (arc sin .r ) , nous en avons conclu »
au sm marcsin^ -T~ = ~ m -== ■)
aX y/ ( rjQi
admettant par conséquent que la dérivée de arcsino; est • Or cela n'a
lieu (34) que si le cosinus de l'arc considéré est positif ; dans le cas contraire on a
d arc sin :c — i
dx ^ i — ^i
et il aurait fallu écrire
du
sinfmarcsin.r)
dx
\Ji-^x'
inxsxn (marcsin^) , ces (m arcsin.r)
dx'
[i~x^)\li — x' (i — ■^')
uit
, , d'^u du
' dx' dx
d'où l'on aurait déduit
équation identique à celle que l'on a obtenue en adoptant l'autre liypothèse, et qui conduirait de même à la relation
dxP^' ~^P "^ I dxP
Mais, en second lieu, nous avons admis qu'en faisant i»7 = o, ona^^=I, -r- = o.
Cela n'est vrai que si l'on admet, pour œ = o, arc sin x =o, qui est la première valeur qui se présente, mais non pas la seule, car on a, pour x = o, arcsin a:' = ^7:.
h étant un nombre entier quelconque, et par suite
u = cos [m arc sin x) = cos mk-K.
De même si ( ^j est nul, c'est en vertu de la même supposition, car en supposant arc sin a: = kn, on doit adopter, pour -j-, l'une des valeurs suivantes,
du
-j— = — m siii mffK ,
ax
(lu . ,
-j- zr: m sin m k-K.
ax
Il faut bien remarquer que la première convient au cas où k est pair, parce qu'alors cos kn est positif, et la seconde au cas où k es( impair.
j-^A se rapporte donc seulement à la fonction
cosm (arcsina:^) dans laquelle on prend pour arc sin ^ l'arc qui s'annule pour x=zo, et qui, devant varier d'une manière continue, est toujours le plus petit des arcs positifs ou négatifs, ayant ^ pour sinus. Le cosinus de cet arc est toujours positif.
152. Si nous voulons maintenant rendre à la fonction u = cos (m arc sin xj toute sa généralité, il est facile de calculer l'expression générale de ses dérivées pour rr = o. On a dans tous les cas
dP-^' u , , . df u
dxP-^' ^^ ' dxP
D'ailleurs, pour^=o, on a
u. = cos (marc sino) = cos mk-K ,
du , . , . .
-1— = ± m sm [m arc sm o) = ± w sm ni h r ,
et par conséquent on trouvera
VTÏ^^^^"')"^'^"'') (w= — 4)(w'-i6j,..(w^ — 4//^';.cos/»(yi>,
le signe — correspondant au cas où k est pair.
153. Dérivées de sin (m arc sin x), pour x — o. — Le calcul des dérivées de la fonction sin {m arc sin x'\ se fait de la même manière et donne lieu à une discussion
analogue. Posons
u = sin [m arc sin :r) , on en eonclut
du m cos f w arc sin^r)
dx ±^]
d^ u m X cos { m ^rc s'\n x) rii- sin (marc sin x]
le signe + du radical devant être adopté lorsque arc sin x a un cosinus positif, et le signe — dans le cas contraire. On déduit de ces formules l'équation
d'u , , du
qui convient à tous les cas. En différentiant/? fois cette équation qui ne diffère pas de celle qui a été trouvée plus haut, on trouvera encore, pour^ = o,
dp+'u , , , dPu
dxi^-*-' ^^ ' dxP
D'ailleurs, pour ,27 = 0, on a
a =z sin («iarc sin o) = sin A/i/ret
-7— = ±: m ces ( m arc sino)=±rn cos m k n ,
le signe + correspondant au cas où (cos arc sin x) est positif, et par conséquent au cas où k est pair. D'après cela on trouvera aisément
- — j = ( — i)'' m' (m- — 4) • • • ("^^ — ip^) sin mkr ,
dx'P+
d'P+'u dx'P-*-'
= ±:(— j)/" (m' — 1) (m' — 5) — [m" — (2/?— iY].mcosmkn,
k étant un nombre entier arbitraire, le signe + convenant dans la seconde formule, lorsque k est un nombre pair. Si l'on suppose arc sin 0 = 0, c'est-à-dire si arc sin ^ est le plus petit arc, positif ou négatif, dont le sinus soit x, on aura ^ = o
