Dérivées de cos [m arc cos x), pour x = o. — Posons

cos [m arc cos x) = u.,

nous aurons

(lu , m sin (marccos ^]

d^u mjcsin (marccos^) m'cos (marc cos ^)

77^ "^ ~" [i — x') \JT^^^ ('— ■^') '

on en conclut

, .d'^u du

I — ,r^ ) -j—- X —, h ni^ u = o,

^ ' dx^ dx

ce qui est précisément l'équation déjà trouvée deux fois et dont on déduira de la même manière, pour a? = o,

d^^^u , , dPu

D'ailleurs, pour x = o, on a, en désignant par k un nombre entier quelconque,

u= cos /n(arc coso) = ces m[7.k -h i) ->

du 1 . / ; N TT

-r- = ± m sm m lik-hi] - 'dx ^ 2 '

le signe -+- convenant, comme on le voit facilement, lorsque k est un nombre impair et le signe — dans le cas contraire ; on aura alors

--—-—=:[ — ij'-.m' (m' — 4) l'^'' — 16) .. . (m' — 4«').cos (i/.' + i) m -1

=±:( — O'-.fw»— i) (m'— 5].. .\nr-—{in- i)'] .ms'in {o^k + i) m-,

le si^ne -f- devant être adopté, dans la seconde formule, lorsque k est pair, et le signe — dans le cas contraire.

Si l'on veut regarder l'arc dont le cosinus est nul, comme égal à -■> il faut prendre k égal à zéro.

1 55. Dérivées de sin [ni arc cos Xj , pour x = o. — En posant

u = sin (marc cos x], on vérifiera, comme dans les cas précédents, l'équation

, d-u du

[i — x'] -, X -j hm'w = o,

' dx' dx

de laquelle on déduira, pour^ = o,

<1p-^'u , ..dpu

Or on a, pour a: = o,

a = sin ( m arc ces o ) = sin ( 2 /r H- i ] m - ?

(lit fi \ ^

-=- = in m ces m (arc ces 0^1 = z^/n ces (2/1 + i) /n- ?

>t étant un nombre entier arbitraire et le signe — de la seconde équation correspondant au cas où ce nombre est pair; au moyen de ces valeurs on trouvera

.^^!!^ = ( — I)"/7^^(/n^ — 4)(m^ — i6)...(m' — 4^=)sin (2/rr-M)/n ^ , ^^'=qz(-i)"m.(m'-.)(m^-9)...[m^-(2Ai-.)^]cos(2/r + i)m ^.

156. Dérivées de[\ -\- x'^f sin [m arc tang x), pour x = o. — En posant

?< = (i-j-or^)^ sin (m arc langer),

et formant les dérivées ^ et ^', on trouve, par l'élimination de sin (marc tang a^),

et de ces {m arc tang a?) entre les trois équations obtenues,

, d^H , du .

On en déduit, en différentiant/? fois,

dP II dP H

et, en faisant x^^o ,

dxP dxP

dP+' u dPii , . , ,

D'ailleurs, pour x = o [en supposant arc tang 0 = 0), on a

du 11 = o,

on en conclut.

Si on laisse à l'expression arc tango? toute sa généralité, on a

arc lang o = /rr ,

et, poui'.r = o,

, du ,

u — sin m /. tt , -j- = mcos mkv:;

on aura alors

"'""*"' ^^ (i)n 777, (m — il. . .(m — 2/i) [in — '?.n — i).5inm/r77,

— f , V' 777 . ( 77? — 1 ) . . . ( /n — 2 « ) ces m ItT,

A- étant un nombre entier arbitraire.

1 57 . Dérivées de [\ -^ x"" Y cos [jti arc tang x ) , pour ^ = o . — En posant

u = (i-t-.r')^cos(marclang.r), on trouve, par un calcul identique au précédent,

dP-^'' u dP u

et Ton en déduit encore

et d'après les valeurs de u et de '^, pour x = o, on trouve en supposant arc tang 0=0,

, . , -, cos m arc tansx ^ 17^ rirvconi