CHANGEMENTS DE VARIABLES
Influence de la variable indépendante sur les différentielles d'ordre
supérieur au premier.
167. Lorsqu'on ne considère que des différentielles du premier ordre, le choix de la variable indépendante est indifférent, et il n'est pas nécessaire d'en faire mention. Si l'on vient à changer cette variable pour une autre qui lui soit liée d'une manière quelconque, les expressions différentielles ne sont pas modifiées. 11 en est tout autrement pour les différentielles d'ordre supérieur; pour qu'une différentielle seconde d^y ait un sens précis, il faut indiquer quelle est la variable
(l- y indépendante, et si x est cette variable, on écrit souvent, pour cette raison, ^ dx"^
au lieu de d'^y, qui serait plus simple, mais moins clair.
Prenons pour exemple la fonction y = x\ on a, en prenant x pour variable indépendante,
Prenons actuejlement pour variable indépendante le carré x^ et désignons-le par II, on aura
y := u\ dy ^1 u du, d\y = 2 du-.
Si on remplace u et du par leurs valeurs en x et dx, on déduit de là *
dy = ^x^ dx, d^y=:S x- dx^, et l'on voit que dy n'a pas changé, mais d^y n'est plus le même.
168. La raison du fait que nous venons de signaler est bien simple. Lorsqu'on prend x pour variable indépendante, dx est constant, et lorsqu'on adopte une nouvelle variable indépendante dont la différentielle est regardée comme constante, dx devenant variable, la différentielle du produit ^'(x)dx n'est plus la même.
Dans l'exemple choisi plus haut, on a posé x^ = u, et par conséquent x = s u,
dx = — —•> d^ a — — T u"^ du"^ .
j68 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si donc on différentie l'expression
dy = ^x^dx,
d- yz= 11 x"^ dx'^ -i- /\.x\d^ X = 8x' dx' ,
ce qui reproduit le résultat obtenu plus haut, en montrant plus clairement encore pourquoi d^ y n'est plus égal à iix-dx"^, et en quoi il en diffère.
Changement de la variable indépendante .
169. Lorsqu'on considère une fonction y d'une variable x et que cette variable est considérée comme indépendante, les différentielles dy, d^y, d^y,..., ont été définies (133). Supposons que l'on veuille actuellement regarder comme indépendante une variable nouvelle t liée à x d'une manière connue; quelles sont les relations qui lient les différentielles dy, d^y,..., d"y, aux différentielles de y prises dans cette nouvelle hypothèse? Pour résoudre cette question, nous représenterons les différentielles prises en supposant dx constant, par les notations d^y, d;y, d^y,..., dly, et pour les différentielles relatives à la variable indépendante /, nous conserverons la lettre d' privée d'indice, en sorte que d" y sera la différentielle n'^'"^ de y lorsqu'on considère dt comme constant. La dérivée de j par rapport à x est,
comme on l'a vu (48), représentée par ^^ quelle que soit la variable indépendante.
Soit ? cette variable; cherchons la seconde dérivée de y par rapport à x. Il faut, pour l'obtenir, différentier la fraction précédente et diviser sa différentielle par dx; on aura ainsi, pour l'expression de cette seconde dérivée,
dx d^f — dyd^x dx^
De même la troisième dérivée -^ est égale, quelle que soit la variable indépendante, à la différentielle de la seconde dérivée, divisée par dx, c'est-a-dire en effectuant le calcul, à
dx^ d'o y— dx' dvd' X— 3 dx' d \rd'x ■+■ 3 drdx'jd'x '•' dx'
les formules demandées sont par conséquent , d'ydx — d^xdr
d^r = -- — Tx ^■
d'rdx'— dxdrd'x — 2, dxd-yd'x + ?>dr{d' xy di y = ■- ^, — ^- '
Ces formules permettent de prendre telle variable indépendante que l'on voudra,
OU même, ce qui est souvent plus avantageux, de laisser la variable indépendante indéterminée.
170. On devra, dans chaque application, faire usage de l'équation qui lie à x la nouvelle variable indépendante, et calculer les différentielles d^x, d^x,..., en fonction de cette nouvelle variable que nos formules laissent entièrement arbitraire. Considérons, par exemple, l'équation
d^y .T df T
dx^ 1 — x^ dx I — x'' '
dans laquelle on veut poser x = cos^, et prendre t pour variable indépendante. L'application de la formule générale met cette équation sous la forme
d'^fdx — d'^xdy x dy y
dx' I — x'' dx i — x'' '
et la variable indépendante est alors arbitraire. Si l'on pose x = cos/, on en déduit, en remarquant que d"^ t=^ o,
dx = — ?,h\tdt, f/2jc=^ — costdP,
et l'équation (i) devient, après des réductions faciles,
171. Dans certains cas, l'application des méthodes générales conduirait à des calculs prolixes que des artifices particuliers permettent d'éviter. Nous donnerons,
comme exemple, la transformation de l'expression x" -^ lorsqu'on substitue à x
la variable indépendante t définie par l'équation x = e', qui donne -^ = x. On a
^/ nd"r\ ^ / d"r\ dx f d"r d"+'r\ d'Y (in+>y
dt \ dx" ) dx \ dx" J dt \ dx" dx"-*" ) dx" dx"-*-' '
par conséquent
X" — ■ — nx" -y^ = X"-*-' -, — ■- , V dx"J dx" dx"^'
dt
ce que l'on peut écrire abréviatement, en faisant usage d'une notation qui, pour être comprise, n'a pas besoin d'être expliquée,
\dt J dx" dx"
En supposant nr= i, on en déduit
et, par suite, en supposant successivement Ai = q, /^ = 3,,.., on trouve aisément la l'ormule générale
d"r Vd , ;^ rd , n i d \ dy on a, par exemple, en faisant /i = 3,
"^ dx' ~ \dt 7 \dl ' j dt ~ dp dp ^^ dt'
172. Nous ferons ici une remarque qui peut être souvent utile. Lorsque la variable indépendante est restée indéterminée, on conserve le droit de la fixer ultérieurement d'une manière arbitraire. Si donc on fait, dans les formules trouvées, d^ X = o, on obtiendra les expressions auxquelles on serait directement parvenu en prenant a7 pour variable indépendante; en cbangeant ensuite, dans ces formules, la variaJ)le indép^endante x pour une variable arbitraire t, on devra retrouver les formules primitives; si cela n'a pas lieu, il y a eu erreur dans les calculs.
Supposons, par exemple, que y=^(!^[x) étant l'équation d'une courbe, on ait trouvé, en résolvant un problème relatif à cette courbe, pour expression d'une certaine ligne, géométriquement définie,
I dxd^f-i- dyd^x
a dx^ + dj'^
aucune variable indépendante n'ayant été choisie. En faisant d^x = o, on aura
I dxd^r
a dx^-\- dy^
Pour repasser de là, à la formule générale relative au cas où la variable indépendante est quelconque, on doit remplacer dxd-y par dxd-y— dyd'-x, et l'on trouve ainsi
I dxd-y — dy^d^x
a dx^ H- dy^
Ce résultat ne s'accordant pas avec la formule primitive, celle-ci est impossible, et, sans connaître les calculs qui l'ont fournie, on peut affirmer qu'ils sont inexacts.
CJuingement simultané de toutes les variables.
173. On a quelquefois occasion de changer a la fois toutes les variables d'une formule et de les remplacer par d'autres qui aient avec elles des liaisons données;
c'est ce qui arrive, par exemple, lorsque, dans un problème, on substitue les coordonnées polaires aux coordonnées rectilignes. Le problème général qu'il faut résoudre est alors le suivant :
y étant une fonction de œ, substituer à ces variables deux variables nouvelles u et i\ qui en sont des fonctions connues, et exprifner les différentielles de œ et celles de y en fonction des différentielles des variables nouvelles u et v.
Pour résoudre cette question, il faut d'abord préparer la formule que l'on veut transformer, de manière à ce que la variable indépendante soit arbitraire ; cela fait, on n'aura plus qu'à calculer dx, dy, d'^x, d^y,....
On a évidemment
, dx j dx j , dy , dy ,
( I ) rt:r = — du-\--r- dv, dy = -j- du -\ — f- di'.
du dv - du dv
Ces équations fourniront les différentielles du premier ordre dx et dy\ car x qX y
cl Tc il OC ct\^ dy* étant donnés en fonction de u et de v, on peut regarder -— -•> y-> -j- •> -f-> comme
connues, soit par la différentiation directe, soit par la méthode de différentiation des fonctions implicites, dans le cas où u et v sont définies par deux équations non résolues par rapport à a; et à j.
En différentiant les équations (i), on trouve
, d'^x , d'^x , , dKr , , dx , dx ,
d^x = -r- du^-h 1 -j — j- dudv H j— - dv^ -\- -— d' u -h -r- d^v,
du^ dudv dv^ du dv
dy=:^-lZdu^+:.4^dudv + '^dv^-i-'^d^u+'^dU; ^ du' dudv dv^ du dv
et ainsi de suite. Les valeurs de ^'^^,' ^' ^'' è'' ^,' se calculent
directement ûx et j sont donnés explicitement en fonction de u et de c, et, dans le cas contraire, à l'aide de méthodes connues pour la différentiation des fonctions implicites.
C'est surtout dans l'étude des applications géométriques du calcul différentiel que l'on a occasion d'appliquer cette théorie. Pour donner, dès à présent, un exemple, soit
j^ [dx'^dy'Y ^
dxd'-y — dyd'^x
l'expression d'une certaine ligne; cherchons ce que devient l'expression de R lorsqu'on substitue a x et a/ deux variables nouvelles, p et o), définies par les équations
jf = p ces w,
y = p sin 0..
on aura, en prenant w pour variable indépendante,
dx = ^/p cos o — j3 sin w flfw, ^/j = d^ sin oj H- p cos o) o?w, </^^ = o?2p COS w — 2f/p sirico(/w — p cos ouIm', d^j'= d-p sin M -{- 2.dp coswc^t.) — p sin wdw^,
et, en substituant,
dp^+ p^doi^y
p''fi?w'H- idp'^dfù — pd^pdw
174. Lorsque, après avoir regardé, dans une formule, la variable indépendante comme indéterminée, on veut la fixer ultérieurement, si cette variable est une des lettres qui figurent dans les calculs, on remplace par leur valeur, zéro, toutes ses différentielles d'ordre supérieur au premier; mais si cette nouvelle variable ne figure pas explicitement dans les calculs, il faut procéder autrement.
On calculera la différentielle seconde de cette variable indépendante, et en l'égalant à zéro, on aura, entre les diverses différentielles des lettres qui figurent dans l'expression considérée, une relation à l'aide de laquelle on pourra lui faire subirune infinité de transformations. Reprenons, par exemple, l'expression
dfd'^x — dxd^j-
et prenons pour variable indépendante une fonction 5 de ^ et de y définie par l'équation
(2) ds'=dx'-^dj'; 4
S est, comme on sait (118), l'arc de courbe dont les points ont pour coordonnées a? et j. On aura, en écrivant que d-s est nul,
( 3 ) o=dxd''x -h dr d'j\
et au moyen de cette équation on peut transformer de bien des manières l'équation (1), qui devient
/dxyd-x /dfyd\r
I dyd'x dxd'r dx l Us 'dF \ dr d' x Klisj ~ds^ '^ \ds ) ds^
K ds ds' ds ds^ ds y dy j ds ds^ dy
ds
On peut adopter cette expression; mais on en obtient une plus élégante en élevant
^ au carre ; on a
i^ fdxy (f[yy (dyV /ljfV dx drd\r d'y W' \ds j \ ds'- / "^ [ds ) \ ds' I ^ d7 d^ ~ds^ ds'-'
lais en vertu de la relation (3)
(h ch d$' ds' ""'[ds) \ ds' ) ' \ds ) \ds' J \ds ds^ ) \ds ds' j "
donc
dxY [d'rV (drY (d'xy (dxy l'd'xy (dy-y (d\y
\{^-\dr] yiTs^ } '^ \ds ) \dsy)'^\ds) \ds\l '"\dsj \ds^
On doit remarquer que l'expression de R en fonction des dérivées de x et de j par rapport à s, est indéterminée; car il existe des relations entre ces dérivées, et deux expressions qui les contiennent peuvent être équivalentes sans être identiques.
175. Lorsqu'on a obtenu une formule dans laquelle une certaine variable, définie comme on l'a supposé dans le paragraphe précédent, est considérée comme indépendante, on peut se proposer de remonter, au moyen de cette formule, au cas général dans lequel la variable indépendante est entièrement arbitraire. Cette question diffère de celle qui a été résolue (169). Ici, en effet, les dérivées sont prises par rapport à une variable s qui doit disparaître ainsi que ses différentielles du résultat final que l'on veut obtenir. Si l'on donne, par exemple, l'équation
1 id-xV (d^2 K'~ \~ds^) "^ \ds'
sachant que s désigne une variable telle que
ds- = dx^ + d}'\
l'application des formules (169) donnerait
1 {d'xds — dxd'sy-hid\rds—drd-sY
mais le résultat que nous voulons obtenir est l'expression de j^ en fonction de a- et
de J seulement et sans que s y figure.
Nous nous bornerons à indiquer, sur l'exemple choisi, la marche que l'on doit suivre.
d^ X d^ V Pour transformer la formule (2 ), il suffit de calculer —rr et — -; or on a
^ ^ ds- ds'
ds^ = dx'-hdf, d.r dx
^* sjdx^-^df^
dx . ( dx d^x-h dyd^r ]
d^x \dx^ -+- dy^
dKx d ( dx \ \ldx'-\-dy'' d'xd}' — dxdyd-y
ds' ds \ sjdx'+ dy' } ds ( dx'^ + df ) ~ ( dx' -j- dj ■' y
on trouve de même
d\r d\rdx^ — dxdyd'x '(ÏF ~ ( dx' 4- df f '
et par conséquent
/(/^y ld\rY {d'xdx'— dxdrd'ry-hjd'rdx'—dxdrd'x)'
\ ds' ) [ds'J ~ ' {dx'-hdyy
d' x' dy' ( dx' 4- f/r^ ) + (/' j" àx' {dx'-+- dy' ) — 2dxd'x dy d'y ( dx'' 4- dr' )
( dx' + dy'Y
[dxd'y— dyd'xf
~ [dx'+dfy '
ce qui est bien le résultat connu •
Cas de plusieurs variables indépendantes .
176. Lorsqu'on substitue des variables nouvelles à celles qui figuraient dans l'expression d'une fonction de plusieurs variables, les dérivées de la fonction ainsi transformée peuvent se calculer à l'aide de relations que nous allons faire connaître, qui permettent de les déduire des dérivées de la fonction sous sa forme primitive.
Considérons d'abord, pour plus de simplicité, une fonction z de deux variables
z = fsi[x,y).
Soient u et c deux variables nouvelles liées à ^ et à j par deux équations données, rien n'empêcbant, bien entendu, que l'une de ces relations soit a = a; ou r =y, et que le cbangement ne porte ainsi que sur une seule des variables dont dépend la fonction z.
En considérant x et y comme variables indépendantes, les différentielles dz, d^ z, d^z,..., sont déterminées, et leur expression a été donnée, aussi bien en fonction de dœ et de dy qu'en fonction des différentielles du, dv, d- u, d^ç,.... L'identification de ces expressions va nous donner les relations cbercbées.
On a
, dz , dz , dz = ^dx^^dy;
j dz , dz
dz = -j- du H- -j- dv.
du dv
Ces deux expressions de dz doivent devenir identiques si l'on y remplace du et dv par leurs valeurs
, du , du ,
du = ^dx-^-^^^dr,
dv = -T- dx + -r dy. dx dy "^
Il est clair, en effet, qu'après cette substitution, les deux expressions de dz seront de la forme ^dx -h Qdy, et comme toutes deux représentent, aux infiniment petits du second ordre près, l'accroissement de la fonction z, leur différence doit être infiniment petite du second ordre. OrV/^ et dy étant deux infiniment petits du premier ordre indépendants l'un de l'autre, il faut pour cela que cette différence
soit rigoureusement nulle.
On déduit de cette identité
dz dx
dz du dz dv ~~ du dx dv dx
dz
dy '-
dz du dz dv ~~ du dy dv dy
Ces équations résolvent la question pour le cas des dérivées du premier ordre. Les
dérivées ^^ ^, ^» ^ ^ qui v entrent, doivent être considérées comme connues et
dx dy dx dy ^ -^
se calculeront à l'aide des équations données qui lient z/ et ç' à ^ et a j.
Remarquons que chacune des équations ( i ) aurait pu s'écrire comme conséquence immédiate de la règle de différentialion (58) des fonctions composées.
177. La comparaison des deux expressions différentes de d^z donnera l'expression des dérivées du second ordre ^'^T^.'Tfl' ^" fonction des dérivées prises
par rapport aux variables u et v.
On a, en considérant dx et dy comme constants.
-7-^ dx^ +■ 1 -, — T- dx dy
dx^ dx dy
on a aussi, dans la même hypothèse, (?.) d'z = -i—r du'+ 2- — - dudv
d^j, \d^ du'^ " du dv
d-z 'dv'
dv'
'-^d'u-i- '-i^d'v; du dv
d'ailleurs
, du 1 du , . dv , dv ,
Par la substitution de ces valeurs, l'équation (2) prendra la forme
d^ z = kdx-' ^ 2.Bdx df + Cdy\ et en comparant avec l'équation ( i ), on conclura
dx^ - ^' d^r ~ 'df~
A, B, C étant des fonctions connues de ^, ^, ^, ^, -^, et des dérivées de u et de V prises par rapport à ^ et à j. ,
La même méthode s'étend évidemment aux dérivées du troisième ordre et des ordres supérieurs.
178. La méthode précédente fait connaître, par un seul et même calcul, l'expression de toutes les dérivées de même ordre. Il peut arriver que, ne voulant obtenir l'expression que d'une seule dérivée, on trouve plus commode de la déterminer directement et isolément.
Supposons, par exemple, que, les données étant celles du paragraphe précédent, on veuille calculer
dx dj- On a d'abord, d'après la théorie des fonctions composées,
dz dz du dz dv
dx du dx dv dx
Pour obtenir j^^^ il faut prendre la dérivée de chacun des deux membres par
rapport à j ; on a ainsi
d^z d /dz\ du dz d' u d / dz\ dv dz d^v
dxdy ~ dx \du) ' dx dû dxdy "^ d^- [dvj "dx'^'dv dxdy'
d ailleurs ^. ( ^ 1 et j- ( t- j peuvent se calculer à l'aide de la formule générale
et l'on obtient ainsi
f/ç da^ du f/(j) dv
dy du dy dv dy^
d^^ d^ du^du d^z /du dv du dv \ d'z dv dv dz d' u dz d'v dxdy du' dx dy du dv \dx dy^ l'y dx) ~^ 'dv^ dx dj- ~^ Jû dxdy "^ dv dxdy
Les mêmes principes s'appliqueraient à la transformation des dérivées d'une fonction contenant un plus grand nombre de variables indépendantes; il n'est pas nécessaire d'en reprendre l'exposition. Les applications qui vont suivre ne laisseront sur ce point aucune difficulté.
Cas ou l'on change la fonction.
179. Lorsqu'une équation lie plusieurs variables, chacune d'elles peut être considérée comme fonction de toutes les autres, et il arrive souvent que, dans le cours d'un même calcul, on juge utile de changer, non-seulement les variables indépendantes, mais encore les fonctions qui en dépendent et auxquelles on substitue des fonctions nouvelles liées aux premières par des relations données.
Soit z une fonction de x et de y. Supposons d'abord que l'on veuille y substituer une nouvelle fonction w, de deux variables nouvelles ii et v, u, v, w étant liés, bien entendu, à oo, y, z, par trois équations données.
On a
, div j dw ,
dw = -r— du H — j- ai', du dv
du , du , du , du , du , du / dz , dz '
du =: -r- dx -\- -j- dy -\- ~j- dz =^ -j- dx -i- -j- dr + -j- [ -T- dx -\--j-dy dx dy "^ dz dx dy ~ dz \dx dy ''
dv , dv J dv , dv J dv , dv 1 dz , dz ,
dv= -j-dx-\--Y- dy ■+- -j- dz ^ -^ dx + -j- dy -\- -j- [ -j- dx -\- -j- dy dx dy "^ dz dx dy "^ dz \dx dy "
Par conséquent
rdw/du du dz\ dw ( dv dv dz\~\ . \^du \dx dz dx j dv \dx dz dx j \
tdw /du du dz \ dw / dv dv dz\l , dû \dj- "^ Tz Ih^j '^^\dy^Tzd^)\ '*^'
mais on a, d'un autre côté,
dw , dw , ^^' ^.^ / ^"' ^^"' *'^\/ / dw dw dz\ .
** ^ ^ dy -^ dz \dx dz dx] \dy dz dy) " '
En égalant les coefficients de dx et de ^y dans ces deux valeurs de dw, on déduit de là
dw dw dz dx ' dz dx
dw /du du dz \ dw / dv dv dz \ ~~ du \dx dzdxj dv \dx dz dx )
dw dw dz dy dz dy
dw 1 du du dz \ dw /dv dv dz\ ~ du \dy dzdy] dv \dy dzdy)
,, . dz dz p .• 1 d^'^ . </«' T
Ces équations permettent d exprimer ^ et j^, en fonction de ^ et ^. Les autres
l ' ■ , ■ n X 1 1 • • ^<*' f^l^'^ fl^l^ du , . •
dérivées qui iigurent dans leur expression, savoir: -j--> -j-'> -j"> -r-'-' doivent
être regardées comme données, puisque u, v, w sont des fonctions connues de x, yaz.
On calculera de même d^w'^ l'aide des deux formules
du^ dudv dv^ du dv
7î ^'^'^ I 2 , ^''""' j 7 , ^'«'j , d'w , , dUv , , dUv , , du'
d'w= -j—^dx'-i-i-j — -r-dxdy+ ——.dy- -h -r-dz'+ 2-j—j-dzdx-{-2-j—rdrdz-\- -,- dz\ dx dxdr "^ df' ' dz' dzdx dydz -^ dz
Si l'on remplace du, dv, d^ u, d-v et d'^ z par leur expression en fonction de dx et de dy, les deux formules prendront, l'une et l'autre, la forme
d^w=Vdx^^i(^dx dr -+- K dy',
et en écrivant qu'elles sont identiques, on obtiendra trois équations qui permettront
d^ z d^ z d' z de calculer ^, ^ , et -j-^ en fonction des dérivées de w par rapport à u et v.
Nous ne développerons pas les calculs, qui sont compliqués et sans intérêt.
Quelques exemples.
