Transformer l'expression

dx' dy^ dz^

en substituant aux trois coordonnées rectangulaires x, /, z trois coordonnées rectangulaires nouvelles x' , y', z' , liées aux premières par les relations

x'=ax^bx+ (^^' y' = o! ^ + h'y^o' z, z' = a" x + h" y + c" z,

dans lesquelles les neuf coefficients a, h, c, a', b' , c', a", b", c" sont liés par les relations connues auxquelles satisfont les cosinus des angles formés deux à deux par les axes de deux systèmes rectangulaires. Remarquons que les relations qui lient les variables anciennes aux variables nouvelles étant ici du premier degré, dx', dv', dz', seront constantes en même temps que dx, dy, dz; on aura donc

et

d'ailleurs

dx' = adx + bdx 4- cdz, dy' = a' dx' + h' df -)- c' dz' , dz' = a" dx' + b" dy' + c" dz', en substituant ces valeurs dans le second membre de l'équation précédente et égalant les coefficients des termes semblables, qui doivent être égaux, puisque dx, dy, dz sont arbitraires, il vient

dx' dx" dy" dz"

1 aa'

dx' dy'

laa

d'^v dx' dz'

dz'df '

d^v , d'v ,„d'v ,„,d'v , ,,, dU' , d'v „ d'v

dy"" dx'"" df^ dz" dx' df dx' dz' dz' dy'

dz' dx'

-r + £••'= -r-r + ^ -rr. + ^ ce' , , , , 4- 2 ce" , , , , -f- 2 c' c' , , ,

c'^ df dz'^ dx dy' dx' dz' dz'dy'

et par conséquent, en ayant égard aux relations qui lient les neuf coefficients,

d^v d^v d''v d''v dU^ dU^ 'd^-^'^df'^~dz'~ Jx" "^ ^ "^ 'd^'