Transformer l'expression

c?'(/ d/^ dx^ dy"^

dans laquelle v désigne une fonction quelconque de x et de /, en une autre dans laquelle x ^iy soient remplacés par des variables r et 5, liées aux premières par les équations

équivalentes à

a;=rcosô, j=:rsine.

T r^=. x''-\-y\ 0 = arc lang-

d^v= -, — dx^ + 2 -, — 7- dx dy + -j— dy\ ' - dx dy "^ «/' ■^

dx-

et

d'ailleurs

^^/ d'v , d'v , ,, d^i' ,„, dv ,^ dv

d'v — dr' + 2 — — - drd^ -^--rr.dO' -h -r d'r+ -j- d^

dr' drdO dO^ dr dô

, xdx-hrdy ,„ xdr—ydx

dr= = — --, d9= — ■■ , • ■)

, f J ^ 2\ [xdx -h ydy)'

{dx'+ dy') r - , ,^ . (dx'-{-dy<')—ixdx-h rdy-y [xdy— ydxY d'r= = "^-^ ^-; ' — '■ — = -7 '

^ ^ — 2 jxdx + rdy) ( ^rfj— jf/^) ( J' — X' ) dx dy — xy{ dy' — dx' )

et par suite

,2 ^ {xdx-^-xdy-y d'y {x' — f')dxdj--{- xy ( dy'— dx' )

~ dr' r' drdQ r'

d^ [xdf — fdxY (h [xdy — fdxY dv /j-^ — x^ ) dx dy —xy[ dy' — dx' ) dQ' r' '^ dr r' "^ rfê ^ 7* '

et en égalant les coefficients de dx^ et de dy^ dans ces expressions de d'-v, il vient

d^ i' d'^ v x'' 9.xy d^ V d- <.' y^ dv y- ^xydu

dx^ ~ 1?" r^ ^ drdO ~^ !¥ V' IrT'^' ~F~ lo '

d'^ V d"^ V y"^ ^.xy d^u d'^ v x'^ dv x- 2xy dv

df' ~dî^7'~^ ~7^ drdQ ^ U' '7'^ dr'r^ 7~ Ib '

et par suite

d'' V d'' V d^ V d^ V \ j dv

dx^ r^ dr- dB- / - r dr