Transformer l'expression

d'' V d^ V d^ V dx' dy^ dz^

en substituant, aux trois coordonnées x, y, z, des coordonnées polaires p,d,^, liées aux premières par les équations

2 = p CCS 9, .ii: = p sin 9 cosi}/, r = p sin 9 sin^}/.

Si nous adoptons d'abord comme variable auxiliaire le produit p sin$, que nous représenterons par r, ret ip pourront remplacer x et y, et comme on aura

un calcul semblable au précédent donnera

d"^ V d^ V d^ V i d'^v i dv

dx* dy' dr^ r^ d-^^ r dr

l'expression proposée devient donc

d^ V 1 d^ V 1 dv d-v

'd7 ~^ 7 d^ ~^ 7'd'r'^ dz"'

Remarquons ensuite que, pour une valeur donnée de i];, r et z sont deux coordonnées rectangulaires par rapport auxquelles p et6 peuvent être considérés comme un système de coordonnées polaires; on aura donc

d^ V d^ V d^v r d-v i dv

'dz^ "^ 'd7 ~ 1^ '^ J' IIF '^ J d}/

et par suite

d^v i d^v i d^v i dv i dv

dx' ' df ' dz' ~

~ df ' f d^' ' r^ d4>' ' r dr ' p dp

Il reste à calculer -^ : il ne faut pas oublier que, dans le calcul de cette dérivée, ^{^ et z sont considérés comme constants; ç' dépend alors de p et de î/, et l'on a

fl?f du dp dv d9

dr dp dr dB dr

D'ailleurs, z étant constant, l'équation p cos,9 =z z donne

— P s'mOdB -\-cosOdp = o. •

Donc

^J rotang G.

De plus on déduit de l'équation jO sin$ = r

dp sin 9 + p ces OdB = dr;

par suite, en vertu de la valeur trouvée pour -r^ ■>

j . „ cos9t/p , dp

apsmôH -/^^dr ou -y^ = sin

•^ lang ô dr

On en conclut

/d'v ^dv\ I dU'

dx^ df dz' ~~ p'

d9 sin 0 CCS 9 ^ dv du . ^ du cos 9

-7- = - = et -j- =: -j- sin 9 + -7- :

dr p lang 9 p dr dp d9 p

l'équation (A) devient, en y remplaçant /et -j-, par leurs valeurs,

d^ u 9. du dp^ p dp

183. Appliquons les méthodes générales au cas où les coordonnées rectilignes .r, y, z, sont remplacées par trois variables p, p,, p.., auxquelles M. Lamé, qui en a fait un fréquent et utile usage, donne le nom de système de coordonnées ciinilignes. •

Soient

<^{x, y, z) = p, ff,{x, y, z) = p„ cp,(^, j, 2) = p^,

les équations de trois systèmes de surfaces se coupant à angle droit et pouvant être considérées comme partageant l'espace en une infinité de parallélipipëdes rectangles infiniment petits; à chaque système de valeurs des paramètres p, p,, p„, correspondent trois surfaces qui, par hypothèse, se coupent orthogonalement en un point aussi bien défini par les valeurs de p, p,, p2, que par celles de x, yfz. Ces paramètres forment un système de coordonnées ciuvilignes.

M. Lamé a introduit utilement dans les calculs relatifs à cette théorie trois

fonctions h, A, et h.>, définies par les équations

Ces fonctions ne changent pas, comme on s'en assure facilement, si l'on remplace les coordonnées x, y, z par d'autres coordonnées rectilignes orthogonales. Cela

résulte -d'ailleurs immédiatement de ce que, d'après ce qui a été dit (125,1, -X"» y^? -j^ représentent les arêtes du parallélipipède compris entre les six surfaces

qui correspondent aux valeurs p, p -h dp, pt, pt ■+- dp^, p^, p^ + dp., de nos paramètres. Or les dimensions de ce parallélipipède ne peuvent pas changer avec la direction des axes.

Cela posé, cherchons d'abord à exprimer les dérivées de x, y, z, par rapport à p, p,, po, en fonction de celles de p, p,, pa par rapport à x, y et z. On a

Pour déduire de ces équations les dérivées de^,y, z par rapport à p, p,, p^, résolvons-les par rapport aux différentielles dx, dy, dz. Si l'on a égard à ce que

J TT^ Tcf''Jd"'T~r''""' ^^^^ ^^^ cosinus des angles formés ( 96 ) avec les axes des coordonnées, par les normales à nos trois surfaces qui, par hypothèse, forment un système rectangulaire, on verra que pour résoudre les équations (2) il suffit de

les ajouter, après les avoir multipliées successivement par t-^t^' 7^77^' T^ 1^'

I do 1 dp, I </û2 . n i dp i do, I do, r\ . • •

puis par --^^,^^,^j-,et enfin par ^ J, ^..-^, ^ -^. On trouve ains.

, i dp j ^ dp, I dp,

7 ^ dp I dp, j I dp, j

dp , do, do,

dp,:

~ dx'^""^ dy'^^^ ^ dz ''^'

dp.

dp, j dp, dp, , = -j^ dx -t- -^ dy H — ^ dz.

dx dy ^ dz

I dp J I dp, J I dp.

et, par conséquent, on a (57)

(Ix

dp,

■ dx

di,

^Âl

dp.

dx '

dp.

'dy

dp,

~ÂÏ

dy'

dp,

dp.

df-

Tz'

dp,

dz'

dp,

Ces formules peuvent d'ailleurs se démontrer directement. Remarquons, en efï'et,

que le produit -j- dp représente l'accroissement infiniment petit de x, lorsque, p,

et p2 restant constants, p reçoit l'accroissement dp. Ce produit est donc la projection sur l'axe desX, de la normale infiniment petite comprise entre les surfaces qui

correspondent aux paramètres p et p ■+- dp, et dont la longueur est (125) -j^- Or

le cosinus de l'angle formé par cette normale avec l'axe des X est f96^ 7 ^•

h dx

On a donc

dx j i dp

d-p'^^ = T^'^^Tx

et par suite, en supprimant le facteur dp,

dx i d p

184. Nous allons maintenant calculer en fonction des coordonnées p, p,, p., la somme

d'v dH' du-

dx^ dy^ dz^ ' Wf

à laquelle M. Lamé donne le nom Ae paramètre du second ordre de la fonction v.

Et d'abord ce paramètre s'exprime facilement par ceux des variables p, p,, p.,, ' elles-mêmes.

On a, en effet,

dv dv dp dv dp, dv dp.

dx dp dx dp, dx dp. dx '

^SL^d^fd^y dU> [dp,\- /'^'t'\ (dp.y dU' dp, dp,

dx' ~ dp' \dx) "^ rfv \d^j "^ \d7'^] [d^j ^' ■"■ JpTdJ.d^'iÙ

dU' dp. dp d"v dp dp, dv d' p dv d' p, dv d' ^.

+ -, rV +

dp. dp dx dx " dp dp, dx dx dp dx- dp, dx' dp. dx^ et si l'on calcule, de la même manière, U-^ et ^^ on trouvera, en ajoutant cl

ayant égard à ce que les surfaces sont orthogonales,

d^v du> d'^.d'v d'i> d^ dv(d^ d^ <Pl

d^-^dr-^dl^-" 'd^^"'dpl^"'dpl^dp \dx^ "^ dy^ ^ dz^

dv (d^ d^ d^\ dv /(Pj, d^ d^ '^ jyXdx^ ^ df'^ dz' )'^ dp\dx' df dz'

et par suite le paramètre du second ordre de v sera exprimé en fonction de (S, f;^, fi^ et des paramètres de ces trois fonctions, que nous allons actuellement chercher.

185. Les surfaces représentées par les équations p = const., p, = const., ^2 = const., se coupent mutuellement à angle droit, quelles que soient les valeurs des constantes : or les cosinus des angles formés par leurs trois normales en un point avec les axes des X, Y et Z, sont

I dp

h dx

, dp hdy'

I dp Â dz^

I dp, lii dx

I dp, A. dy'

I dp, A, dz

I dpi fh dx

I dp, h, dy'

I dp, Aï dz

Ces neut quantités ont donc entre elles les relations bien connues qui existent entre les cosinus des angles que font, deux à deux, les axes de deux systèmes rectangulaires, et l'on a, par suite,

h A, As

/dp, dr-i \ dz dy

dp, c^pjX dy dz j

dp dy~

(dp, dp2 \dx dz

dp, dpA dz dx j'

dp dz ~

(dp, dp2 \ dy dx

dp, dp2\ dx dy j '

dp, dx

h, h lu

[dp2 dp \dz dy

dp, dp\ dy dz )'

dp,

/û?pj dp \dx dz

dpi dp \

dz dx)'

dp, dz ~

Idp-i dp \ dy dx

dp, dp\ dx dy)'

dp,__ dx

(dp dp, \dz dy

dp dp,\ dy dz )

dp.. dy "

lu ' h h,

(dp dp, \dx dz

dp dp, \ dz dx )

dp2 dz ~

Ih h A,

(dp dp, \ dy dx

dp dp,\ ^ dx dy J

Si de ces formules on déduit -. — r ^t -, — 7- 5 en différentiant -7^ par rapport à y,

(lydx dxdy dx *^ ^^ ^

puis -7^ par rapport à x, on a, en égalant les résultats,

h /^'pi d^! d'ptdf>2 dpi d^fi. dp, d' p, \ liJh /dpt dp^ dp^dp,

/ijh\dzdydy dy dz dz dr^ dy dydz J dy \dz dy dy dz

Il fd^pidp2 d'p, dp, dp, d' P2 dp, d^ p^x liJhfdp.dp^ dp^dp^

Il i lit \dx^ dz dzdx dx dx dxdz dz dx^ J dx \dx dz dz dx

ou bien, en ajoutant et retranchant, pour plus de symétrie, quelques termes qui se détruisent.

rdp^ (d^ d^ , ^\^Pl i^'h d'?^ d'pA-\ Idz \dx'- ~^ dy "^ dz' I dz \dx'' "^ dy ^ dz- )}

dp, dp, jdp,\ / dp, dp, dp,'

Vf d^ d^ d^\ ( d"^ d^ c/^Al

h I I dp, dz dp, dz dp, dz \ ( dp, dz dp, dz dp, dz 1 I \,li, \\dx dx dy dy dz dz / \dx dx dy dy dz dz / J^

dp, ( dp, h, h, dp, h, h, dp, lit h,

dz \dx dx dy dy dz dz

dp,[ dp. II, h, dp, li,h, ^^dp, h, h.

dz \dx dx dy dy dz dz

mais en ayant égard aux formules (183), et remarquant que l'on a

^dp, ^dp, ^dp, ^dp^

dz dx dz dy dz dz dz

dx dp, dy dp, dz dp, dp,

cette équation devient

l> dp, lii?z ,d^ ,d^\ dp, [d^ d^ d^\ d^^ 1^, dz

h, h, [dz \dx' "^ dy "^ dz' ) dz \dx'- ^ dy "^ dzr- ) ^ ' do, ' dp, J

, dp, . ^ ht II, dp, , h, h, dz dp, dz dp.

On obtiendrait de même les deux suivantes :

d^. /d'p7 'Ilîi j ^llîi\ ^P' (^'P

h, h, \__dy \dx^ ^ dy' ' dz' J df \dx^ ' df dz' 1 ' dp,

dp, ,, h, /h dp2 ,, hylii

ip.

dp, (d'p, d'p, d'pA dp, (d'p, d^ (P p

hji, \dx \dx' dr' dz' J dx \dx'. dy' dz

dpj dr

dp,

d^ dit

do,

dp,

dp, , ,

dx a Pi

h,lh dpi ,, h, /h

dx ' de

En ajoutant ces trois équations après les avoir respectivement multipliées par

't^' ^' ^» on trouve, toutes réductions faites, (IX dr dz

hh,

I i d'' p, d' p, d' p, lî \d^ ^Hf^ ~d^ j ' ' dp

En ajoutant les mêmes équations après les avoir multipliées par -p» -^% -^^

on trouve de même

h] \ dx' df dz'

d log

dp,

on trouverait de même

II' \dx' dj' dz

En ayant égard à ces équations, l'expression de 7-;+ j— , -+- 7-, trouvée (184) de-

vient

d^'^ 'df^d^~\'dj'^dp~h~~d~rl'^' \'d7\'^'dj, h, ~djr ,

,Ad^i> dv h h. Il h, ' \dp\ dp, Ih dp,

OU, ce qui revient au même.

d' v d^v dU> , , J

J h dv , II, dv J h, dv^ II, Ih dp Ii2 h dp h h, dp,

dp dp, dp,

Si les coordonnées p, p,, p^ sont des coordonnées polaires, de telle sorte que les surfaces orthogonales soient des sphères, p, et p., étant remplacés par B et <\i, qui représentent hahituellement les deux coordonnées angulaires, on a

z = p ces 9, X = p sin 9 ces ^, >• = p sin 9 sin ij/, par suite

T ^ =r arc tang - •>

z 9 = arc ces

La distance de deux points infiniment voisins étant

rfp= = c^p2 + p2 rf9^ 4- p' sin^ 9 rf^',

on a

h = i, A, ==— , Aj = —

P p sin 9

et par suite •

c?'(/ fl?^t^ rfV I [ d [ . .dv\ d [ dv\ d i i d\>

d^'^df'^~d7^-j'^:^^\T^y ^'""^d}) +rf^i,'*"V9J~^^U"ï^9^

ce qui s'accorde bien avec le résultat trouvé (182).

EXERCICES

d^v dy j . d'y

1. En posant j7 = cos^ l'équation (i — ic^) -7-^—:r ^ H-a=r= o devient -j- -^a^;^=o.