FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Définition des équations différentielles .
186. Lorsqu'une équation exprime une relation entre une fonction et ses dérivées, on la nomme équation différentielle. Nous avons eu déjà l'occasion (146 j d'utiliser des équations différentielles pour la recherche des dérivées de certaines fonctions. L'étude des équations de ce genre est d'ailleurs un des sujets les plus importants que nous ayons à traiter.
Une fonction d'une variable étant donnée, l'équation différentielle à laquelle elle satisfait n'est pas déterminée. Si, en effet, on différentie l'équation y = © (x) pour
en déduire -j- =: a^' [x], toute combinaison de ces deux équations fournira une relation entre x, y Çii-j- , c'est-a-dire une équation différentielle à laquelle satisfait r. Soit, par exemple, la fonction
on en déduit
dr ax
et ces deux équations donnent les relations
auxquelles on pourrait évidemment en adjoindre une infinité d'autres. Si dans ces équations on considère j comme inconnue, elles admettent la solution commune y g2u:^ mais chacune d'elles peut en avoir, et en a effectivement, une infinité d'autres.
187. On peut se proposer de combiner l'équation qui définit une fonction avec celle qui fait connaitre la dérivée de cette même fonction, de manière à remplir une certaine condition que l'on aura en vue. On peut, par exemple, profiter de l'indétermination que comporte une semblable opération pour faire disparaître un radical, ou une exponentielle, ou un sinus, etc., qui figurent dans l'expression de la fonction et que l'on ne veut pas conserver dans l'équation différentielle.
Soit, par exemple, l'équation
on en déduit
dx
ant
df dx
dy dx
Si l'on a, par exemple, on en déduira
où il n'y a plus de radical.
Soit encore
r = sin<p(^), on en déduit
^=COScp(^).cp'(^),
et si l'on veut éliminer les lignes trigonométriques sin 9 (x) et cos 9 [x), on trouve
•^ '^'[xy \dx)
On pourrait donner un grand nombre d'exemples analogues, mais nous nous bornerons à répéter que l'équation différentielle à laquelle satisfait une fonction donnée est essentiellement indéterminée. C'est pour cette raison que l'on peut, comme on vient de le voir, lui imposer des conditions relatives à la forme qu'elle doit avoir.
Elimination des constantes .
188. Lorsqu'une fonction donnée contient dans son expression une constante arbitraire, on peut se proposer de former une équation différentielle à laquelle elle satisfasse, et dont cette constante ait disparu. Le problème est toujours possible et déterminé. Soit, en effet, une équation
dans laquelle a désigne une constante arbitraire. On obtient, en la différentiant,
r/F (IV dy ( ^ ) dx dr dx '
et en éliminant a entre les équations (i) et (2), on formera l'équation difl'crenrHllc demandée. Cette équation pourrait être obtenue par un autre calcul. On pourrait, par exemple, résoudre l'équation (i) par rapport à a, et la différencier après lui avoir donné la forme
la constante se trouverait immédiatement éliminée et l'on obtiendrait l'équation
df) r/tp dy
dx dy dx
On peut, plus généralement, transformer d'une manière quelconque l'équation proposée avant de la différentier ; l'élimination de la constante a pourra donner lieu à des calculs très-différents, mais le résultat final est le même dans tous les cas. Quand on a, en effet,
a étant arbitraire, il est permis de choisir à volonté une valeur de x et la valeur correspondante dej; mais, le choix une fois fait, l'équation (1 j détermine «et il n'y
a plus rien d'arbitraire dans l'expression de y en x; ^ est donc complètement
déterminé. ^^ étant déterminé lorsque l'on se donne x et y, la relation qui lie x, y
et ^ est évidemment déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen dx
employé pour l'obtenir.
189. Lorsqu'une équation entre deux variables x et y contient plusieurs constantes arbitraires, on peut les éliminer et former une équation diflérentielle dans laquelle elles ne figurent plus, mais il faut, pour cela, introduire des dérivées successives de j en nombre précisément égal à celui des constantes.
Soit l'équation
où C,, C2, . . ., C;, désignent des constantes arbitraires. En la SifférentiaDJt^w fois de suite, on formera u équations nouvelles qui, réunies à la proposée, permettront d climiner les n constantes. Mais on peut procéder de bien des manières différentes pour atteindre le même but. On peut, en effet, transformer l'équation (1) avant de la différentier; on peut aussi transformer d'une manière quelconque celles qui ré-
sulteiit (le la différentiation de (i) en substituant à l'une d'elles, avant de faire une différentiation nouvelle, le résultat de sa combinaison avec toutes les précédentes. On peut, par exemple, éliminer la constante C, entre l'équation (i) et sa dérivée, puis éliminer Co entre l'équation différentielle ainsi obtenue et sa dérivée, et continuer ainsi jusqu'à l'élimination de toutes les constantes. Or il est bien digne de remarque que toutes ces méthodes donnant lieu à des calculs très-différents, conduisent cependant au même résultat final. L'équation (i) contenant en effet 71 constantes arbitraires distinctes, on peut se donner, arbitrairement, pour une valeur donnée de x, les valeurs correspondantes dej et de ses rî — i premières dé-
, dy d^ y d"~^y
rivées ^1 3^'""' d~^^' ^'^^^ ^^^ ^* conditions déterminent les n constantes, et y
devient une fonction déterminée de a? ; ^-^ est par conséquent déterminée. Cette
j^ieme (j^rivéc étant déterminée lorsqu'on se donne oc, y, -f ^ ■ -^ ;7~^' ^'équation
qui la lie à ces diverses quantités est déterminée et doit rester la même, quel que soit le moyen employé pour y parvenir. .^
190. Pour donner un exemple d'élimination des constantes, formons l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle satisfait la fonction y définie par l'équation ^
(^ — ay+{y — by=R-,
représentant tous les cercles tracés dans un plan. En différentiant trois fois, on a
^,d'y (dy\-
^^' ^^dx^-^^dxdx^^
on déduit de ces deux dernières équations, par l'élimination de (y — b),
L \dxj J dx^ dx \dx-i '
c'est l'équation différentielle demandée.
Elimination des constantes dans une équation qui contient plusieurs
variables indépendantes .
191. La différentiation permet d'éliminer les constantes d'une équation dans laquelle figure une fonction de plusieurs variables, absolument comme dans le cas où il n'y a qu'une seule variable indépendante. ♦
Soit l'équation
qui définit z en fonction de .x et de y, et de deux constantes arbitraires. En
différentiant par rapport à x, puis par rapport à j, on obtient deux équations qui,
réunies à la proposée, permettent d'éliminer a et b.
d' z (l^ z (l^ z En introduisant les dérivées du second ordre, y-^i j—, > y-^, on pourra éliminer
cinq constantes; on en éliminerait neuf en introduisant les dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite.
192. Il existe une différence importante entre les équations obtenues comme il vient d'être dit et celles qui résultent de l'élimination des constantes dans les équations à une seule variable indépendante. Dans ce dernier cas, en effet, l'équation obtenue a le même degré de généralité que la proposée et peut la remplacer entièrement. De même qu'elle est déduite de la première, on pourrait, en la prenant pour point de départ, retrouver celle-ci. C'est là un théorème de calcul intégral dont nous ne pouvons donner ici la démonstration, mais qui sera établi plus tard; or on peut voir, dès à présent, qu'il en est tout autrement dans le cas de deux ou plusieurs variables indépendantes : l'équation trouvée entre les dérivées partielles de la fonction est beaucoup plus générale que celle qui lui a donné naissance.
Considérons, en effet, une équation de la forme
En prenant les dérivées successives par rapport à x et à y, on pourra former deux équations du premier ordre, trois du second, quatre du troisième, et ainsi de suite. Si donc on veut introduire les dérivées du second ordre, on aura
(Iz dz d^z d-z d^ z . l'i • *• j
six équations entre x,y, z, j-, -y-, -,— •> -r-r» j . i ,' ^I"*' P^'' ^ élimination des constantes a et b, donneront quatre équations entre ces diverses quantités. L'équation différentielle entre 07, y, z, 7^' 7^. ne donnera au contraire que deux équations
du second ordre que l'on obtiendra en la différentiant par rapport à a: et par rapport à 7. Ces deux équations, réunies à la proposée, en font trois seulement au lieu de quatre, et par suite, en considérant les dérivées de z jusqu'au second ordre inclusivement, on voit que l'équation (i) leur impose un plus grand nombre de conditions que l'équation différentielle qui s'en déduit. La différence augmente encore si l'on considère les dérivées du troisième ordre. L'équation proposée, différentiée par rapport -à x et par rapport a y jusqu'au troisième ordre inclusivement, donnera
en fo f H" ' ' 1 t' T ^ ^^^ ^^^ ^^'^ ^'^ ^'^ ^'-2 '^'^
' '^' "'' ^:c' f/^2 ' dxdy-^ dy'^ ' rf^îc' ' dx^dy-' dy^dx^ dy^ '
les deux constantes; il y aura donc huit relations indépendantes des constantes entre x, y, z et les dérivées de z jusqu'à celles du troisième ordre inclusivement. Or, en prenant pour point de départ l'équation différentielle débarrassée des constantes, on en déduit deux équations du second ordre et trois du troisième, ce qui fait six relations, en tout, entre ces mêmes dérivées auxquelles l'équation primitive en impose huit. Ce seul rapprochement fait comprendre que l'équation différentielle laisse à la fonction z une plus grande latitude que l'équation primitive.
193. On peut démontrer d'une autre manière que l'équation obtenue en éliminant deux constantes a t\h entre l'équation
et ses dérivées, admet une infinité de solutions non comprises dans l'équation qui lui a donné naissance. Soit, en effet,
/ „ X ,, / dz dz
\ (IX dy
cette équation différentielle, à laquelle satisfait, par hypothèse, la fonction z déduite de l'équation (i), quelles que soient les valeurs qu'on y attribue aux constantes a et b. Nous pouvons remarquer d'abord que les surfaces représentées par l'équation (i) ont une enveloppe que chacune d'elles touche en un point; l'équation de cette surface enveloppe, s'obtient en éliminant a et b entre l'équation (i) et les dérivées de cette équation par rapport aux constantes a et b. Soit
le résultat de cette élimination. Cette équation (3) fournit pour z une expression an X et y qui satisfait à l'équation (2), car en chaque point de la surface enveloppe
les quantités X, J> -s, ^' ^. ont les mêmes valeurs que pour celle des surfaces
enveloppées qui est touchée en ce point, et par conséquent la relation (aj, qui a lieu pour tous les points de toutes les surfaces enveloppées, a lieu aussi pour la surface enveloppe.
3Iais on peut obtenir une infinité d'autres équations qui, pour une raison toute semblable, partagent la propriété reconnue à l'équation (3). Établissons, en effet, entre les constantes a et b une relation arbitraire b = f(a], l'équation (i) deviendra
et, ne contenant plus qu'un seul paramètre a, cette équation représente une série
de surfaces dont l'enveloppe touche chacune d'elles, non plus en un point, mais suivant une ligne. L'équation de cette enveloppe s'ohtiendra en éliminant a entre l'équation (4) et sa dérivée par rapport à a, et il estévident que l'on ohtiendra ainsi
l'équation d'une nouvelle surface pour tous les points de laquelle x, y, z, j^-> ^.
seront les mêmes que pour un point convenablement choisi de l'une des surfaces primitivement données; l'équation [i] sera par conséquent satisfaite par la fonctions déduite de cette nouvelle relation. Mais, cette fois, l'introduction de la fonction arbitraire /(a) permet d'obtenir un nombre infini de résultats différents, ce qui montre que, conformément a nos prévisions, l'équation (ij est bien loin d'être la solution générale de l'équation différentielle que l'on en déduit.
