I .r I XI X

^langg--=gCotg--^col-,

— tang— = — col col ,

et en ajoutant ces diverses équations,

lang X H- ^ lang ~-^j tang ^ + . . . 4- 1 lang ^ = - col - — 2 col 2^ , 2 2 i| /(. 2" 2" 2" 2"

Si l'on fait croître n indéfiniment, cot ^ égal à — ^ peut être remplacé par X: le

tang — ^

premier terme du second membre a donc pour limite -, et l'on a

^ - 2 col 2 .r = lang ^ + ^ lang ^4-7 tang f + . . . + 1 lang - h ,

ce qui est précisément la formule annoncée.

225. La somme d'une série s'obtient quelquefois en décomposant cbaque terme de manière à-transformer la série proposée en d'autres plus simples et dont les sommes sont connues.

C'est de cette manière que.Jacques Bernoulli a démontré les formules suivantes, déduites ingénieusement par Leibnitz de la tbéorie de l'intérêt composé, et qui sont des cas particuliers d'une formule beaucoup plus générale et fort importante que nous aurons à étudier plus tard. On a, quel que soit le nombre ,x positif ou négatif, mais en valeur absolue inférieur à l'unité,

= I -f- jf -h jt^ 4- ^=-1- . . . 4- X" + . . . ,

- = , + 3^ + 6^^4-10^^+ ... +^J!±lli!^±l) ^.n

-—i-— = I + 4^' +iox'+ 2o.r'^ + . . .+ (/^ + r)(/^4-2)(n + 3)^„