LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

La première de ces séries est bien connue. Considérons la seconde et posons

Si l'on fait

on a évidemment

S= A+Bh-C + Dh-..

c'est-à-dire

\-\-x-hx'-+- .. + X" + ... I

I — X [i — xy

De même, si l'on pose

S'=i -h^x-h&x'-+-iox'-^...-\-- ^ ^" -^ ■■

et que l'on fasse

A — 1 -^ 2 X -h 3 x'-h /[ x'-\- . . .=-f-(/i + i)^" + . . -, B= a: + 2.r^4- 3 x'H- . . -\- nx" -\- . . ,

on aura évidemment

(i — :r)^ i^ — xy (i — ^)

c'est-à-dire

\-hx-\-x'-\-. . .-hx"-\-. . . ^ I

Nous ne pousserons pas plus loin ces indications relatives à des théorèmes qui doivent être obtenus plus loin sous une forme beaucoup plus générale; bornons-nous à inscrire ici, comme facile à démontrer par un procédé tout semblable, la formule

ix -X)" 2 1-2.3

dans laquelle n est un nombre entier quelconque, et x un nombre positif ou négatif moindre en valeur absolue que l'unité.

. 220. La niéiiie méthode peut s'appliquer à la sommation de la série suivante :

S = t-|-4^-|-9^'-|-i6.r''-(-. . .-f-(/i-hi)^.r"H-. . ..

Si l'on pose

on a évidemment

mais le numérateur

peut s'écrire de la manière suivante :

iH-.r H-.r^-|-.r'-f-. . .H- 2(.r -f-2.r='-(-3,r^4-- • •)= ^" / 'n''

et l'on conclut enfin

i — x (I — xy [i-hx]

227. Le nombre de séries que l'on peut sommer ou de développements que l'on peut découvrir par des procédés analogues à celui que l'on vient d'indiquer est extrêmement considérable; l'énumération, si nous la faisions ici, en serait peu utile et nous écarterait d'ailleurs complètement de notre sujet ; nous laisserons donc de côté ces premiers exemples destinés à montrer toutd'abord avec quelle facilité des expressions très-diverses peuvent être développées en séries, pour nous occuper des règles de convergence et de quelques principes généraux relatifs au calcul des séries.

Nécessité de la convergence des séries dont on fait usage.

228. Les géomètres du xviii^ siècle attachaient peu d'importance à la convergence des séries. Les plus illustres d'entre eux ont employé des séries divergentes et paraissent s'être fait illusion sur le peu de rigueur des raisonnements où elles interviennent. On trouve cependant dans les œuvres de Jacques Bernoulli un exemple très-remarquable du danger qu'elles présentent, et c'est même à cause de l'absurdité d'un résultat, qu'il affirme la divergence de la série dont il s'est servi pour l'obtenir. Nous rapporterons cette démonstration, qui fournit un des