LIVRE SECOND. - DÉVELOPI'EMENTS EN SÉRIE
Si fj. est égal ou inférieur à l'unité, nous supposerons « = 2 , et, par conséquent, \a moindre que l'unité; v,, est alors plus grand que
n(\nY
c'est-à-dire plus grand que le terme général d'une série divergente; la série (B) et par conséquent la série (A) est donc dans ce cas divergente.
On verra d'une manière toute semblable que les séries qui ont pour termes généraux ^ ' ' etc., sont convergentes si u.
n.\n.\.ln.{\.\Anf riA n.\An.\.\.\n.{\.\A.\nf /^ '
est plus grand que l'unité et divergentes dans le cas contraire.
Remarquons seulement que les logarithmes des nombres négatifs étant imaginaires, les premiers termes de ces séries ne sont pas réels, mais on peut les remplacer par des nombres arbitraires sans changer les conditions de convergence.
238. La considération des séries précédentes a conduit à des règles qui peuvent être quelquefois employées utilement pour prononcer sur la convergence d'une série à termes positifs. Soit une série
il est clair par ce qui précède que s'il existe un nombre p, plus grand que l'unité, et tel que, pour de grandes valeurs de n, on ait constamment
la série est convergente. Si, au contraire, il existe un nombre p. plus petit que l'unité et tel que, pour de grandes valeurs de /^, on ait constamment
la série est divergente.
Or l'inégalité ( i ) équivaut à
et par suite à
ou encore a
Un
de même l'inégalité (2) peut être remplacée par
or il est clair que l'on peut satisfaire à la première de ces inégalités, en choisissant jx plus grand que l'unité, pourvu que la fraction ~ ait une limite plus grande que
l'unité, et à la seconde en choisissant \l plus petit que l'unité, pourvu que -p' ait une
limite moindre que l'unité. Dans le premier cas la série est convergente, et dans le second elle est divergente.
239. Lorsque le rapport ~ a précisément pour limite l'unité, la convergence
ou la divergence de la série reste douteuse; on pourra souvent en décider de la manière suivante. 11 est évident, d'après ce qui précède, que la série dont le terme général est w„ est convergente si l'on peut trouver un nombre /ut, supérieur à l'unité et tel, que l'on ait constamment, pour de grandes valeurs de /i,
n[\ny'-'
la série est au contraire divergente s'il existe un nombre pt. inférieur à l'unité et tel, que l'on ait constamment, pour de grandes valeurs de n,
Or la première de ces inégalités peut s'écrire c'est-à-dire
(4) i->i« + fzi.i/i,
ou enfin
■ ' . ^^ Un ^ Un
l'inégalité ( 2 ) équivaut de même à
