LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
Pour qu'on puisse satisfaire à la première par une valeur de p- supérieure à l'unité,
il suffit que — - ait une limite plus grande que l'unité, et pour qu'on puisse satisfaire à la seconde par une valeur de [x moindre que l'unité, il suffit que la même expression ait une limite moindre que l'unité. Il y a donc convergence ou diver-
gence suivant que l'expression -^^ a une limite plus grande ou plus petite que
l'unité.
Il est bon de remarquer que le numérateur l — étant égal kl \n, serait in-
finiment grand par rapportai An, si les deux termes dont il est la différence n'avaient pas un rapport infiniment peu différent de l'unité, c'est-à-dire si la règle précédente n'était pas en défaut; la nouvelle règle est donc particulièrement applicable aux séries pour lesquelles la précédente ne suffit pas.
Remarquons enfin que nUn tend nécessairement vers zéro, sans quoi, u„ étant
comparable à -, la série serait divergente comme là série
nu„
La limite de l'expression yj-" est donc positive dans les cas où il peut y avoir intérêt à la chercher.
240. Si le rapport -A^ tend vers l'unité, la convergence ou la divergence de la série restent douteuses. Pour en décider, on comparera alors le terme général u„ à
Si pour de grandes valeurs de n cette dernière expression surpasse u„, «. étant plus grand que l'unité, il y aura convergence; si au contraire on peut faire en sorte que, fj. étant moindre que l'unité, m„ surpasse l'expression (r), il y aura divergence.
. ,, . nii„ \n
Onconclutaisémentdelàqu'unesérieestconvergente si l expression j j ^^^ a une
limite plus grande que l'unité, et divergente dans le cas contraire. On remarquera, comme au paragraphe précédent, que pour que la limite dont nous parlons ici ne
soit pas infinie il faut que le rapport -^' ail l'unité pour limite. S'il en est
ainsi, -p aura lui-même l'unité pour limite, et par conséquent la troisième règle
servira précisément lorsque les deux précédentes n'auraient rien pu apprendre.
La série des règles analogues peut se continuer indéfiniment, mais les cas où elles peuvent s'appliquer deviennent de plus en plus rares, et il ne semble pas nécessaire de nous étendre davantage sur ce point.
