Considérons, par exemple, la série

le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité. En posant u^ = -, on a

et la limite de ce premier rapport est l'unité. On a ensuite

nu„ In

\An n\.\n la limite est zéro. La série est donc divergente.

Règle de Gauss.

242. Gauss a donné dans l'un de ses Mémoires une règle de convergence pour les séries à ternies positifs, qui, sans être aussi générale que les précédentes, s'applique à une classe nombreuse et importante de séries. La démonstration donnée par l'illustre auteur est d'ailleurs tellement élégante, qu'elle mérite d'être reproduite pour elle-même.

Soit une série

(A) M, -hM, +.. . + «„+

Supposons que le rapport -^^ s'exprime par une fonction rationnelle du nombre n des termes qui précèdent w„, en sorte que l'on ait

An^-' + B/i^--*

n^ + an -^hn

Ce rapport tendant évidemment vers l'unité, la série n'est pas de celles auxquelles la règle (230) soit applicable. Le théorème de Gauss est le suivant :

Si la première des différences A — a, B — 6, ... , qui ne s'évanouit pas est positive, les termes croissent avec /i, et la série est divergente.