LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si la première de ces différences qui ne s'évanouit pas est négative, les termes de la série sont décroissants lorsque n augmente.

Si les coefficients A et a sont inégaux, les termes croissent sans limite ou tendent indéfiniment vers zéro; lorsque au contraire X — a est nul, les termes de la séné tendent vers une limite finie et différente de zéro.

Le seul cas où la convergence soit possible est celui où K — a est différent de zéro et négatif, et dans ce cas, si k-\- \ — a est positif ou nul , U y a divergence, si X-^ i — a est négatif, il y a convergence.

Nous allons démontrer successivement ces théorèmes.

i*^ Si la première des différences k — a, ^ — h,..., qui ne s'évanouit pas est positive, le rapport ^^ sera, d'après l'expression (i), constamment supérieur à

Un

l'unité pour des valeurs suffisamment grandes de n, les termes de la série vont alors en augmentant.

0.° Si la première des différences k — a, ^ — h,..., qui ne s évanouit pas est négative, le rapport ^^ est inférieur à l'unité pour des valeurs suffisamment grandes

de n, et les termes de la série vont par conséquent en diminuant.

3^ Si les premiers coefficients k et a sont inégaux, les termes de la série croissent sans limite lorsque k — a est positif, et tendent vers zéro sik — a est négatif.

Supposons en effet que k — a soit positif; soit h un nombre entier tel, que

A(A — «)> i; posons

Dans la série

le rapport d'un terme au précédent est c'est-à-dire, en remplaçant -^' par sa valeur,

t^^-^'-^hkn'^

et comme on a supposé hk>ha-hi> le rapport —^ est plus grand que l'unité

h lorsque n est très-grand ; — augmente donc avec n, et par suite w„ est infini en

même temps que n,

^2i2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si A — a est négatif, pour prouver que u„ tend vers zéro, il suffit de considérer la série