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le rapport d'un ternie au précédent sera

u„ n -\- an 4- . . .

on en conclut, d'après ce qui précède, que — croît indéfiniment, et par suite u„ tend

vers zéro.

4" Si l'on a xV = «, les termes de la série tendent vers une limite déterminée qui n'est ni zéro ni l'infini.

Supposons d'abord que, A étant. égal à a, la première des différences A — «, B — 6,... qui ne s'évanouit pas soit positive; soit h un nombre entier tel, que l'on ait

/< + 6— B>i; posons

Dans la série dont le terme général est v„, le rapport d'un terme au précédent est exprimé par

c^,.^, ^ u„^, jn^-i)'^^ n^-^'^ + An^-^^-'-' + (B - /Q n^+^'-^ ^ "" '^ ' n'-^-'' + A ?i'-^^'' ' + bn-^''-' -f- . . . '

et comme par hypothèse on a

le terme général v„ diminue lorsque n augmente; mais, en vertu des équations (3), u„ est moindre que ('„ en valeur absolue : et puisque ç„ diminue, il est impossible que w„ augmente sans limite, et comme ce terme est croissant avec n, il converge nécessairement vers une limite finie.

Si la première différence qui ne s'évanouit pas est négative, on pourra appliquer le raisonnement précédent à la série

U, Mj U3 U„

et les termes de cette série tendant vers une limite finie, il en est de même de leurs inverses m, , u^,..., u^.