LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

50 Si A — a + I est posai/ ou nul, la série est divergente. Soit h an nombie entier positif suffisamment grand ; posons

on aura ,

n-^h-ht n-^' -f^(A — A + i)n^-^-[B-A,(/i-i)]n^~'+..-^

Si A -i- I —a est positif, Vn augmente avec n lorsque n est suffisamment grand, car le coefficient de n au numérateur est plus grand qu'au dénominateur. Si A+ I -«est nul,— est encore plus grand que i, car les coefficients de n'

étant les mêmes, celui de n"' est plus grand au numérateur si h est supposé suffisamment grand; on aura donc, dans les deux cas, pour une valeur de n suffisamment grande,

et par suite, en remplaçant (^« et ^«^-i par leurs valeurs, et mettant au lieu de n, n-\- i, n-h 2,...

on en déduit aisément

et comme la série qui figure dans le second membre est divergente, il en est à fortiori de même de la série proposée qui forme le premier,

6° Si A — a-\- i est négatif, la série est convergente.

Soit dans ce cas h un nombre positif moindre que « — A — i, je dis que l'on aura, pour une valeur suffisamment grande de n,

Un+i ^ n — h — I

Un n

Cette inéiçalité revient en effet à

{n — Il — l)Un

Or on a, d'après l'expression de -^ ?

nu„

Un

;n/t-i)«„ ,^^+^^^a-h-i)n'-^[h-[li-^i)a\n'"-^...

24i PREiMlÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, comme A — «4-i-l-A<o, cette fraction est, pour de grandes valeurs de n, constamment moindre que l'unité. On a d'après cela

n — h— i ri — h ^ {n — h — \)(n — h)

u <^u "—Jl±l^„ [n-h-i)[n — h){n-h + i)

et par suite,

Or la somme des termes qui multiplient w„ dans le second membre peut facilement se calculer. On a pour une valeur quelconque de n