I -f. ^ ~ ^^ — ^ n — I {n — h—\)[n—li) n ~ h nïi

T 4- ^ — 1^ — ^ ^ {n — h~\){n — h) n — i {n — h — i){n — li)[n — h-\-i) " n.{n-i-i) ~ h h.n.in-i-i) ~'

, 4 n~li — \ ^ {n — h—i){n — Ji) (n — h — j){n — h) — {n — h-h p)

n n {n-hi) '" n.{n -{- i). . '{n-{-p -i- i)

n — I {n —h — i), . .(^n— h-hp -h j)

La fraction qui forme le second terme du second membre tend vers zéro lorsque p augmente; car, si l'on nomme Vp la valeur générale de cette expression, on a

n — li-\-p -[- 1 p + [n — A H- 2)

par suite, la différence désignée plus haut par A — a est négative, et Vp tend vers zéro. La série qui figure dans le second membre de (6) est donc convergente, et il est par suite impossible que le premier membre m^4- w„+, +.... augmente sans limite. La série dont le terme général est m„ est donc convergente.

Méthode de M. Kummer.

243. M. Kummer a fait connaître une méthode à l'aide de laquelle on peut trèssouvent prononcer sur la convergence des séries à termes positifs. Cette méthode se distingue des règles précédentes par la grande indétermination qu'elle laisse subsister dans le mode d'application, et qui souvent est un avantage pour ceux qui savent habilement en profiter.