LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 24b

Soit la série à termes positifs

Soient ç{n) une fonction quelconque de n et a une constante arbitraire; posons

. , ^ (a(n)Un ftfin -h f) n (2) ^{n) = '^-^-^-^^^-^ + ^ju„^.,

et l'on aura identiquement

ainsi qu'on s'en assure en substituant à ^{n), ^ (n -h i),..., leurs valeurs fournies par l'équation (2).

Cela posé, supposons que pour de très-grandes valeurs de n, (p (n) u„ tende vers zéro, et que, de plus, 4» ('*)> ^{n + i),... soient tous positifs; il est clair que le premier membre, qui est positif, tendra lui-même vers zéro, quel que soit k, et que, par suite, la série est convergente; nous avons donc le théorème suivant :

Soit (p{n) une fonction de n telle, que (p{n)u„ tende vers zéro lorsque n augmente et que de plus la différence

Un+i

soit positive pour n infini: la série est convergente . La condition

Un+i > O

peut s'écrire, si l'on suppose a positif,

elle sera toujours remplie, puisque a est arbitraire, si

limite plus grande que zéro.

/i -4- I ) a une

244. M. Kummer a fait connaître un second théorème qui permet d'affirmer dans un grand nombre de cas qu'une série à termes positifs est divergente. Conservons la notation du numéro précédent, et posons en outre

Remplaçons successivement /« par /i -h i, /î 4- 2, n + 3,..., et ajoutant membre

2i6 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

à membre les équations obtenues, on aura, puisque UnO[n) est nul pour n infini,

ç)(Ai)««= u„+, f{n)-+- Un+,f{n + i)-f- ?/„+3/(n-|-?.)-h. . . ,

OU, en divisant pary'(/î),

y ( w ) lin fin -h I ) fin -h:»:)

fin) -""- + «'---j^— -+-a„-.3 ^^^^ +••••

Si maintenant /(w) tend vers zéro lorsque A^ augmente, les coefficients qui dans le second membre multiplient les termes de la série primitive sont tous moindres que l'unité, et, par suite,

<fin)u„ ^

Si donc 'yr—r n'est pas nul pour n infini, la somme des termes qui suivent un

terme quelconque n'a pas pour limite zéro, lorsque le rang de ce terme augmente sans limite et la série est évidemment divergente; nous pouvons donc énoncer le tbéorème suivant :

Si (p{n) est une fonction de l'indice n, telle que le produit (^[n)u,, soit nul pour n infini, et que de plus des deux expressions

et

fin)u„ fin)

la première soit nulle pour n infini, et la seconde positive ^ la série est divergente, 245. Considérons comme exemple la série