Il

c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre ra+i, lorsque /« est infiniment petit du |>rcmier ordre, et la proposition ne peut être en défaut que dans le cas exceptionnel où l'on a f"-*-* [x] = 00 . Si l'on représente h par dx et f {x) par j', la formule de Ta\ lor pout s'écrire de la manière suivante :

elle est souvent employée sous cette forme, et l'on doit se rappeler que, «tétant infiniment petit, l'erreur commise lorsqu'on arrête le développement est un infiniment petit d'ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.

Remarque sur la série de Taylor.

277. La formule de Taylor ainsi bornée au cas d'un accroissinuiit infiniment petit de la variable équivaut à une série de théorèmes, tous dignes de remarque, et

2«C PRF'MIÉRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui au fond n'expriment rien autre chose que la continuité de la fonction et de ses dérivées : «

1° Quelle que soit la fonction ip {x), la différence^ (37 + A) — f{x), où h est infiniment petit, peut être considérée comme proportionnelle à A et mise sous la forme htp' {x), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la différence même que l'onsévalue.

2" L'excès de la différence f{x-hh) — (p {x) sur la valeur approchée hep' (x) peut être considéré comme proportionnel à h-, et la différence

i^{x-hh) --^{x) — hep' {x) être mise sous la forme — ?"(^), l'erreur commise

étant infiniment petite par rapport à la quantité même que l'on évalue.

3° L'erreur commise dans cette nouvelle approximation peut être considérée comme proportionnelle à A', et la différence

<f{x+fl) o[x) — llif' [x)-

h' mise sous la forme — ^^cp" {x), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la quantité évaluée. .,

Ainsi de suite indéfiniment.

La fonction étant entièrement arbitraire, on peut évidemment la choisir de manière à mettre les théorèmes précédents en défaut pour une valeur désignée de x; mais cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs singulières de la variable, et dans ce cas l'une des dérivées devient infinie.

La démonstration directe des propositions précédentes est facile. Posons d'abord

(0 ,f{x + h) — ^{x) = hY{x)+¥{x, /,),

F (a7, A) étant (276), pour une valeur infiniment petite de h, infiniment petit par rapport à h(p'{x). Prenons les dérivées par rapport à /* des deux membres de cette équation, nous aurons •

un >. •

Mais, en vertu du principe démontré pour une fonction quelconque (45), 0' (x-^h) — ^'{x) peut être réduit khf {x) quand on néglige une partie infiniment petite de sa valeur.

Si donc on construit la droite dont l'ordonnée est hf [x], h étant l'abscisse, la fonction F [x, h) est l'aire comprise entre l'axe des X et une courbe dont l'ordonnée diffère de celle de cette droite d'une portion infiniment petite de sa valeur.

et par conséquent, F {x, h) est égal à - f {x), en négligeant une portion infini-

LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE, ment petite de sa valeur. Si l'on pose

y(jr-+-A) — ?(x) — A,5.'(x)— — ?"(x) = F, (x, h),

on trouve, en prenant les dérivées par rapport à h,

,f'{x-hh)-f'{x) — /if"ix) =

<IV.(x,li dx

et par suite il résulte du théorème général précédemment démontré, appliqué à

ilF, (x h) . A'

la fonction 9' {x), que — '-A—^ — ■ se réduit à — y" (a;), quand on néglige une partie

infiniment petite de sa valeur, et l'on en conclura de même que la fonction F, {x. A),

qui est nulle pour h = o, diffère de 5 f"(^). d'une portion infiniment petite

de sa valeur.

Le mode de raisonnement peut se continuer indéfiniment, et montre que les termes de la série de Taylor forment une série d'approximations d'ordre de plus en plus élevé vers la valeur de f {x -h h), l'erreur commise après l'addition de cliacun d'eux étant infiniment petit par rapport au terme lui-même.

Formule de Maclaurin.