L-Ii—L = ! __ ^ L___(-..,| ^|(/,4-,)A ___
{z—ay X' dz x'-'dz ^ x dz ^ ' "'dz
Développons actuellement les deux membres en séries ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de z — a, et égalons les coefficients de -^— dans les deux développements. Si l'on pose
on a
Pourobtenir le développement du premier membre de l'équation i'3), il faut diviser chaque terme de cette série par {z — a)", le coefficient du terme en ^ est donc
Si l'on développe les divers termes du second membre de l'équation (3), on voit,
d'après ce qui précède, qu'un seul d'entre eux, — -" j-,' donnera un terme en -
Considérons en effet le terme général
dx
Tz f^A,, d „„
1^ ^"-."-t-' a — n dz
OÙ ^i désigne un nombre entier quelconque différent de n. x'''^" est en général développable suivant les puissances positives ou négatives de s — a, car si /x surpa.sse n, cette expression est nulle pour s = a , et si /jl — n est négatif, le produit
^f x!'-" [z — af- 1^ ^
a pour s = a une limite finie égale, en vertu de l'équation (i), h 9 (a)" '\ et ce proauit est en général développable suivant les puissances de (s — a). En divisant tous les termes par (z — a)"""-", on aura le développement dea?""", qui renfermera des puissances positives et négatives de (s — a) : la dérivée par rapport à z ne contiendra donc aucun terme en
Quant au terme
on a
. dx
''^"Tz
. dx "^»7i , d\.
dz
Le raisonnement précédent n'est donc plus applicable. On a, en vertu de l'équation fi),
d\.x I fi 1 . ç ( 2 ]
jf^ dz z — a dz ''
l.y(a)a, pourz = a, une valeur finie. On doit donc, en général, le considérer comme développable en série ordonnée suivant les puissances de 2 — a , et la dérivée — '1 ^^ contiendra, par suite, dans son développement aucun terme en ^ : le développement de —j— ne contiendra donc qu'un seul terme de cette espèce, et le coefficient de ce terme est l'unité.
En égalant les coefficients de dans les développements des deux membres de l'équation (3), on obtient d'après cela
„ . ' rf-' [?(«)■/'(«)]
et par conséquent
A„ = ' rf-.[?(a)°/-(a)] ^
