L'équalion

( I ) z = a -h Xf{z)

a, en général, plusieurs racines. Quelle est celle à laquelle se rapportent les formules précédentes? Cette question est délicate, et plusieurs géomètres célèbres l'ont traitée sans se trouver entièrement d'accord. Ce n'est pas en ce moment que nous pouvons la résoudre complètement : nous nous bornerons, dans ce chapitre, aux indications suivantes.

La série

représente évidemment, poura;=:o, la fonction /(a) qui correspond à la racine z = a, et comme cette série est une fonction continue de x, si pour chaque valeur de cette variable on partage les racines de l'équation en deux groupes, dont l'un comprenne celles qui sont plus grandes que a et l'autre celles qui sont moindres, la racine à laquelle se rapporte le développement est évidemment, pour de petites valeurs de x, la plus rapprochée de a parmi celles qui appartiennent au même groupe qu'elle, et toute la difficulté consiste à savoir si cette racine est plus grande ou plus petite que a. Or on

z — a = xf{z),

et en supposant a? infiniment petit, z diffère infiniment peu (iea,eiz — a est de niémesigne quea?'^ (a). Si donc f (a) est positif, z — a est de même signe que x, et le contraire a lieu si o [a) est négatif.

La même règle s'applique lorsque x prend des valeurs croissantes. La racine variant d'une manière continue, restera toujours dans le groupe où elle se trouve placée d'abord, car y (a) n'étant pas nul, z ne peut devenir égal à a pour aucune valeur de x autre que zéro. La série représentera donc une racine connue jusqu'à ce que l'une des deux circonstances suivantes se présente.

La série (2) cesse d'être convergente. '

X acquiert une valeur telle, que les deux racines les plus voisines de a parmi celles de même groupe qu'elle deviennent égales entre elles.

Dans le premier cas, la série ne représente plus rien, et lorsque le second s'est présenté, x continuant à croître, la continuité ne suffit plus pour indiquer celle des racines qui succède à a par une variation continue. En général, d'ailleurs, les deux racines deviennent imaginaires après avoir été égales, et ne peuvent, ni l'une ni l'autre, être représentées par la série (2), qui, comme nous le verrons dans un autre chapitre, devient alors divergente.

Seconde démonstration de la formule de Lagrange.

314. La démonstration de la formule de Lagrange que nous venons de donner, est celle de Laplace. Quoique directe et élégante, elle exige des tranformalions successives qui la rendent moins simple que celle que nous allons faire connaître et qui est due à Jacobi.

Lorsqu'une fonction ç {x) devient infinie pour x=o, elle n'est pas développable parla formule de Maclaurin, mais elle peut, en général, être développée en série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de la variable et de la forme

A -H A, or 4- A,;c' -f- . . . + A„ jt" -|- . . .

Lorsque cela a lieu, la dérivée 9' (a;) est représentée par la dérivée de la série précédente, c'est-à-dire par

A, + 2A,a:+. . .-|-/iA».r"-' 4-. . .

et ce développement n'a pas de terme en -•

Ainsi donc : Si une fonction est développable en série ordonnée suivant les puissances positives ou négatives de la variable, la dérivée de cette fonction est développable

m série de même forme dans laquelle manque le terme en -•

Cela posé, considérons l'équation

Soit

,2; /(z)=/(rt)-t-A,j:-l-A,jr'+.. 4- A.JT" -+-..., *

A, , A,,. . A„, étant des fonctions de a indépendantes de .r; prenons les dérivées (les deux membres par rapport à :;, en considérant a comme une constante, et divisons par x" les deux membres de l'éciuation obtenue, nous aurons

X" x" dz x"^' dz X dz dz

ou, en remplaçant dans le premier membre a; par sa valeur déduite de l'équation (1),

/ 'z^aizY A, dx 0. \, dx n\„d.r , . ,. dx