L'équation

a toutes ses racines réelles et comprises entre o et i . C'est là un théorème important, dont la démonstration résulte de l'expression précédente de X„. On sait en effet que lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée les a également réelles et toutes comprises entre la plus grande et la plus petite racine de la proposée. Or l'équation

a évidemment in racines réelles, savoir n égales à — i , et 7i égales à + i; les dérivées successives ont donc toutes leurs racines réelles et comprises entre — i et + I, et comme X„ est, à un facteur près, l'une de ces dérivées, le théorème se trouve démontré. » . .

357. Nous donnerons enfin une équation différentielle du second ordre, à laquelle satisfait la fonction X„, et qui, sans la caractériser complètement, a été souvent utilisée dans l'étude de ses propriétés.

Pour obtenir cette équation, posons

M = (l — 1XZ + z') ' ,

du z d'u 3 s'

dx , ,.7 dx^ , . ,vT -

(l — ■iXZ-JrZ^) (" — 1XZ-\-Z')'

du X — z d'u I 3(x — zy

^ {y--ixz-\-z-'Y {x-ixz-^-z-^Y (i— ?..r2 + 3')'

de là résulte

( I — 2XZ + Z'

et par conséquient,

d'u du d'u du

c'est-à-dire

^ dx' dx dz' dz

d 2\ Ëîi ^ ' —

dx dx dz dz

Si dans cette équation on remplace m par sa valeur,

H= I +X,2-f-X22'-4-. . .-hX,z"-|-.. . ,

en égalant à zéro le coefficient de z", on aura

dx f' est-à-dire

358. Nous ferons connaître, pour terminer cette digression, une relation simple qui lie trois fonctions consécutives X„, X„+,, X„,, et qui a été plusieurs fois utilisée dans l'étude de ces fonctions.

On a par définition «

(1) (1 — 2XZ -\-z'p =n-X,2 -«-X,«'-l-. ..-hX.z'-f-... ,

on en déduit, en différentiant par rapport à z ,

(2) ^E^ZJ. -^ =:X, -4-2X,z-l-...4-«X,z"-'-i-...,

et par conséquent, en multipliant les deux membres par v — ixz -^- z'^,

{x — Z){l—1XZ + Z']~^ — {\ — 2XZ+S')(X,-H2X, z+. ..-l-rtX„z"-'+ . ..).

Si dans le premier membre de cette équation on remplace [i — •i.xz + z'^)"' par son développement, et que l'on égale les coefficients de z" dans les deux membres, on trouve

(3) ^ («H-i)X„+, — (2«+ i)arX„-HraX„, =0.

En différentiant l'équation (i) par rapport à x, on trouve, après avoir supprimé le facteur z,

I rfx, rfX, ,rfX„

(l — 2:CZ + 2^)'

Cette valeur de [\ — ^xz-^-z"^) ' substituée dans l'équation (2) donne, si l'on égale les coefficients de z"~' dans les deux membres,

mais l'équation (4) peut s'écrire

En remplaçant le premier membre par son développement, et égalant les coefficients de z" dans les deux membres, on en déduit

rfX„+i d\n , rfX„,

clx dx dx

et la comparaison des formules (5) et (G) donne

uX„.n a A„i , > -v

-di rf^=(^« + ')^-

On en conclut, en changeant n en n — i, « — 4,..., et ajoutant les équations ainsi

obtenues

le dernier terme étant 3X, si n est impair, et SX.^ si n est pair.

EXERCICES

1 . Dans le développement de ( i -f- x)i en série ordonnée suivant les puissances de x, les coeflicients des divers termes sont des fractions rationnelles qui, réduites à leur plus simple expression, n'admettent pour facteurs premiers de leurs dénominateurs que des diviseurs de q.

2. Dans le développement de (i — j:")» tous les coefficients sont entiers.