On a trouvé

d.<f-ip+,{n)

La dérivée de la fonction 9"''"^' (n), ne change donc qu'une seule fois de signe lorsque n varie de o à i, et comme la fonction est nulle aux deux limites, elle conserve le même signe, variant toujours dans le même sens lorsque n varie de o à-»

puis atteignant un maximum à partir duquel elle varie en sens inverse, jusqu'à la valeur zéro, de telle sorte que la courbe dont (p2f+i{n) est l'ordonnée, a la forme représentée par la figure de la page précédente ou par la suivante

Digression sur les fonctions nommées par Le gendre X„.

354. Nous avons déduit (315) de la formule de Lagrange l'expression du coefficient de z" dans le développement de l'expression

Ces fonctions, étudiées par un grand nombre de géomètres, ont trop d'im[>ortance pour que nous puissions nous borner à la mention rapide qui en a été' faite, et nous terminerons ce chapitre consacré aux développements en série, par l'indication de quelques-unes des formes qu'on leur a données, et de celles de leurs propriétés qui n'exigent pas l'intervention du calcul intégral. Nous aurons d'ailleurs

UVRE SECOND.-DÉVELOPPENfENTS EN SÉRIE. 33S

à les étudier de nouveau et à les utiliser plusieurs fois dans la suite de cet ouvrage. En considérant i —2xz-{-z^ comme un binôme

I — Z{iX — z),

la formule de Newton donne

(i — ixz-hz'f' = I H — z{ix — s) H '-tZ'(ix — :)'-{-■ ■ •■

En développant les puissances indiquées, on trouve pour le coefficient X„ de z", ^ ^t.3.5...(2w— i)r n{n — i) ^„, ^ «(/i— 1) (a — 2)(« — 3) ^,. '1

Si l'on fait successivement n = o, n= i , n= 2,..., on aura les valeurs suivantes :

2ar'

X, = -^ ar» f 2.r' H jx,

355. Le théorème de Lagrange nous a conduits (315) à une expression de la fonction X„ dans laquelle on peut facilement transformer celle que nous venons d'obtenir.

Remarquons d'abord que l'on a, quel que soit le nombre entier n,

il suffit, pour le démontrer, de remarquer que le changement de n et n+ 1 , introduit, toutes réductions faites, les mêmes facteurs dans les deux membres, et que l'égalité se vérifie aisément pour les premières valeurs de n.

336 PREMifeRF. PARTIE. - CALCUL DIFltRENTIEL.

D'après cela, le terme général de l'expression de X„ (354) est égal à

que l'on peut écrire, en supprimant les facteurs communs,

I n{n — \)...[n — in + i)

c'est-à -dire

, I « («— i) ... (« — m + i) fl?" .x^"-*"

2"(i.2.3...rt) 1 .2.3. . . m dx" '

et X„ est la n""" dérivée de

2"l I .2.3... Ilj

c'est-à dire que l'on a enfin

2" . 1 . 2 . J . . . It dx"

ce qui est l'expression déjà obtenue (315) et donnée pour la première fois par 0. Rodrigues.