L'équation

étant, par définition.

une

conséq

uence de u = \z.

(in il

•■t. par conséquent,

du d\z 1 dz dz 2

résultat fapile k vérifier directement d'après la valeur de I z.

372. Dcjînitioti de z'" pour un iidUur quelconque de. «i. — Si l'on fait : = ;r -f- y ^Z — i , on a, d'après ce qui précède,

]> y'\ q ayant les val«'iirs irunvéos au jiaragraphc ''370). L'expression s"" est donc t'quivalenle ii

Pour élever l'exponentielle a la puissance m, nous admettrons, comme défiiiilion, qu'il faut multiplier l'exposant par m et nous poserons, en conséquence,

q contenant dans son expression un multiple arbitraire de in, qui, sans influer sur la valeur de l'expression (i), change, au contraire, après la multiplication de q par m, la valeur de l'exponentielle (3) ; z'" n'est donc pas une fonction bien déterminée de z.

Si l'exposant m est réel et égal à -; A et g' étant entiers, on aura

^ ° *> ^ =* /J " iu\ti. — L l 1/ I tin — 1

cos — + v' — I sin — ) i g g I

et si, dans cette expression, on remplace, comme cela est permis, q par q + ikn, elle prendra un nombre de valeurs distinctes précisément égal au dénominateur g. Si l'exposant m est imaginaire et égal à r(cosw 4- V— • sinw), on aura, en posant

p-\-q v' — i = p (cos? + v' — I sin ^p),

^.„, g.p[cos (^ + m)+ V^sin (? + '.o] ^ ^/-pecs (?-!-«) [-çQg ,.p sin(?+«)] + y^^ sin /-p sin (<f + w',;

cette expression fournissant d'ailleurs pour z'" une infinité de valeurs distinctes, puisque l'angle 9 qui y figure dépend de l'expression p + q\j —i, dans laquelle il est permis d'ajouter à q un multiple quelconque de -xti.

Sur les fonctions qui sont mal déterminées.

373. Parmi les fonctions que nous venons de définir, il faut distinguer avec soin e% sinz, coss, lang^, et z'" lorsque m est entier, qui sont des fonctions bien déterminées. Chacune d'elles, pour une valeur réelle ou imaginaire de z, est définie sans ambiguïté. Les fonctions \z, z'", lorsque m n'est pas entier, admettent, au contraire, pour chaque valeur de.z, plusieurs valeurs distinctes également conformes à leur définition. Il est important cependant, dans un grand nombre de cas, de pouvoir préciser celle dont on veut s'occuper, et nous allons donner sur ce point quelques développements.

Lorsque l'on considère des valeurs isolées de x et de y, la définition laissant, par hypothèse, la fonction indéterminée, on peut adopter indifféremment l'une quelconque des expressions qu'elle fournit; mais, ce premier choix une fois fait, si l'on fait varier a; et jà partir des valeurs primitivement considérées, les valeurs successives de la fonction supposée continue sont en général déteripinées, et toute ambiguïté disparait.

Soit, par exemple, 9 \x-{- ysj — " ) une fonction dont la définition, quelle qu'elle

soit d'ailleurs, laisse subsister, pour des valeurs données de x et de y, une certaine

indétermination, permettant de choisir entre des valeurs distinctes; dans certains ♦

cas, lorsque par exemple 9 (;r -+- j y — ' ) = 1 (-^ + J s' — ' ) » ^^ nombre de ces va- ^

leurs est infini.

Attribuons à a;et à j des valeurs initiales ^o» Jo» pour lesquelles nous choisirons *

arbitrairement, parmi les valeurs conformes à la définition, celles que nous voulons adopter pour représenter f(a7o-l-Vo V — ')• Fî*isons ensuite varier a? et j d'une manière continue etsuivantuneloi telle que le point don ta; et/ sont les coordonnées, décrive sur le plan une courbe arbitraire commençant au point dont les coordonnées sonta^o, jo! Ifi condition de varier infiniment peu lorsque la variable change ellemême infiniment peu, dissipera toute ambiguïté, et l'on devra adopter, en cluuiue |)oint, pour la fonction, la valeur, en général unique, qui, satisfaisant à la définition, diffère infiniment peu de celle qui correspond au point infiniment voisin qui précède. Une seule exception correspond au cas où, pour l'un des points considères, deux valeurs de la fonction deviendraient exceptionnellement égales entre elles; si la loi de continuité conduit à adopter ces valeurs, en continuant à suivre la courbe qui représente la loi de variation de x et de j, on se trouvera, pour un point infiniment voisin de celui dont il est question, en présence de deux valeurs infiniment peu différentes l'une de l'autre qui, satisfaisant l'une et l'autre à la loi de continuité adoptée comme critérium, pourront être acceptées toutes deux; ces valeurs se sépareront ensuite et acquerront une différence finie, en sorte (juc l'ambiguïté reparaîtra pour tous les points situés au delà de ce point crilique où elle a pris naissance.

La définition de la fonction \x+y\j — 1, lui assigne deux viilciiis éi;;il(s cl de signes contraires, qui deviennent é^.ili^ pour x = o, / = o; c'csl donc, |iniir cette fonction, par l'origine des coordonnées qu'on devra s'abstenir de faire passer la courbe qui représente la série des valeurs de x et de y.

Pour la fonction l(f -f-a; -I-7V — ')' le point m/f"(7«ecoriesp(tn(l aux valeurs v=:o, x = — \, pour lesquelles toutes les valeurs du logarithme deviennent infinies.

374. Il oe faut pas croire que, pour définir avec précision l'une des valeurs d'ime fonction ip(a; -k-y\J— 1). il soit nécessaire de spécifier la courbe (jiii réiiiiil le |)iiiiil correspondant aux valeurs choisies de x et de y au point arbittaire pour lei|ii( I le choix a été fait d'abord. On conçoit, en effet, (|ueles valeurs possibles <le la tonelion ne formant pas une série continue, le changement dans la forme delà courbe étant supposé se faire graduellement et par un mouvemcnlcontinu, la fonction doit nécessairement rester invariable jus(|u'au moment où se produit un changement hru.sque qui lui fait acquérir une valeur nouvelle, el recevoir tout ;i (oiip un a( 1 iiiisv( inmi

:m PHKMIKRK PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Hni. S'il s'agit, par exemple, de la fonction \(x-hys/—i), pour desvaleursdonnéesde .r et de y, on sait que, si elle change, elle ne peut s'accroître que d'un multiple de 271 \/— I . Or nous allons montrer que ces changements brusques ne sont possibles que quand la courbe, en se déformant, franchit l'un des points qui correspondent aux valeurs égales, infinies, ou indéterminées de la fonction.

Considérons en effet un point initial A ayant pour coordonnées a^u, Vo, et soit un point B dont les coordonnées sont a;,, y,; supposons qu'un point mobile M parte de A et se rende en B en suivant une certaine courbe; si l'on se donne en A la valeur de la fonction cp{œo-+-yo\/— i), la condition que nous lui imposons d'être continue, déterminera celle qu'il faudra adopter en B pour la fonction o{x,-hy, yj— i) lorsque a; et j auront été pris successivement égaux aux coordonnées variables du point mobile 31. Supposons ensuite que l'on passe du point A au point B en suivant une courbe infiniment peu différente et telle, qu'aucun des points dont nous avons

parlé ne soit compris entre elle et la précédente; en adoptant pour (p(a7o +70 V—.O 'a même valeur que dans le cas précédent, on trouvera la même valeur aussi pour o{x, +j, V — 0- Concevons en effet que deux points mobiles M et M' parcourant nos deux courbes, partent en même temps de A, pour arriver en même temps en B, et suivant une loi telle, que leur distance soit constamment infiniment petite. Lorsque le point M parcourt la première courbe, les valeurs que prend successivement la fonction sont déterminées par l'obligation de former une suite continue; mais, pour chaque point considéré isolément, la définition de la fonction permettrait (le choisir entre diverses valeurs toujours inégales par hypothèse. Soit A un nombre moindre que le plus petit module de la différence entre deux valeurs possibles de la fonction en un point quelconque de cette courbe; il est clair que pour deux points infiniment voisins dont l'un est situé sur la courbe, le module de la différence entre deux valeurs de y compatibles avec la définition de la fonction, sera aussi supérieur à A, s'il n'est pas infiniment petit. Au point initial dont les coordonnées sont Xo, Vo, la valeur de la fonction a été choisie, et lorsque les deux courbes sont parcourues simultanément par des mobiles partant de ce point, la différence initiale entre les valeurs de la fonction est nulle et a zéro pour module. Ce module étant assujetti, comme nous l'avons dit, à la condition d'être toujours infiniment petit ou supérieur à A, ne peut, à aucun instant, cesser d'être infiniment petit, car il devrait, pour cela, changer brusquement de valeur pour devenir supérieur à A. Lorsque les deux points arriveront ensemble en B, les valeurs correspondantes de <p tlifféreront donc infiniment peu, et cela ne peut être sans qu'elles soient rigoureu- ."^ement égales, car au point B toutes les valeurs possibles de la fonction sont par hypothèse distinctes et leurs différences ont des modules finis.

Si les deux courbes comprenaient, entre elles, un des points pour lesquels deux va-

leurs de ç deviennent égales entre elles, la quantité désignée par A serait infiniment petite, et le raisonnement précédent serait en défaut. La valeur de la fonction '^ relative au pointB peut donc varier pour une même valeur initiale correspondant au point A, lorsque la courbe qui unit ces deux points et par laquelle on représenté les valeurs intermédiaires de la variable, se déforme intiniment peu en francliissant un des points pour lesquels deux valeurs de la fonction ç deviennent égales entre elles.

375. Pour éclairer ce qui précède par un exemple, considérons la fonction

qui peut avoir, pour cba que point, deux valeurs égales et de signes contraires. Donnons-nous, pour x= \, y = o.

Cette hypothèse détermine la fonction pour des valeurs quelconques de x et de y supposées reliées aux valeurs initiales 07 = 1, j = o, par une série continue de va-leurs intermédiaires parmi lesquelles ne figurent pas x = o, y = o, pour lesquelles les deux valeurs de la fonction sont nulles toutes deux et par conséquent égales. Si l'on considère un point mobile partant du point A, dont les coordonnées sont x — i,y=o, et revenant au même point après avoir décrit une courbe continue, et que l'on attribue k x clh y les valeurs correspondantes aux coordonnées deg points de cette courbe, en revenant aux valeurs primitives Xo jo. ^^ fonction reprendra .sa valeur initiale si la courbe ne contient pas dans son intérieur l'origine des coordonnées;' on pourra en effet, dans ce cas, en conservant les deux mêmes extrémités réunies en A, la réduire à zéro par une déformation continue, sans qu'elle ait à franchir ce point critique, et par conséquent sans altération de la valeur finale de ç-. Il en sera autrement si l'origine est sîluée dans l'intérieur de la courbe. Supposons par exemple que, partant du point dont les coordonnées sont x=\,y=o, on se déplace sur le cercle du rayon unité décrit de l'origine comme centre, et soit 9 l'angle décrit sur ce cercle à partir du point initial, dans le sens de la rotation qu'il faudrait imprimer à l'axe dos \ imsitifs pour le coucher sur «fini des Y positifs, on aura

^-t- jV— ' = cos<f+- sj— I Sin^, Var-)-f v^— I =d-(cos--f-v^— I sinij- *

Lorsque ç est nul, nous adoptons par convention la valeur 4-1 cl par coiisé- (|uent le signe -f- en dehors de la parenthès#. La continuité exige dès lors que l'on prenne toujours le signe 4-, car, la parenthèse n'claiil jamais nulle, le changement en signe — entraînerait un changement brusque dans la valeur de la

:î7fi PIŒMIKRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fonction. Lor.s donc qu'après avoir fait le tour de cercle on aura ç> = 2 tt, on aura

àt'îr

V'cosajr + y/-M sill27r = v/T= + (cOSW-)- ^— I sin;:) = — i.

Ainsi donc, quoiqu'on soit revenu au point de départ, la fonction n'a pas repris

.sa valeur primitive qui était -4- i. La fonction z^ est donc essentiellement ambiguë. Lorsque, par un choix arbitraire, on écarte l'une des valeurs correspondant à une valeur donnée de 3, on la voit reparaître comme conséquence de la continuité.