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369. bëfinilion de tang z. — La fonction tang z n'étant pas développable en série pour toute valeur réelle de z, ne peut pas, lorsque z est imaginaire, être déliiiiipar la série qui la représente. Nous poserons, comme définition.

smz laiipz =

cosz §,

370 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DlFFÉRENTIEr..

et, par conséquent,

tangs = •—= -1= V— I = v' — I

nous poserons de même

Les formules

r/tang3 I

dz eus' 3

dçç>\.z I

dz sin

sont applicables à des valeurs quelconques de ::, car la règle de différentiation des

fractions, appliquée à ^ et à - — -, donne les mêmes résultats, et les réductions

^ r^ ^ cosz sinz

ultérieures sont les mêmes lorsque l'on suppose z réel ou imaginaire.- 370. Définition de \ z. — Lorsque z et u sont liés par l'équation

ou dit que «est le logarithme népérien de z, et l'on écrit

z étant une fonction de u, u est une fonction de z. La condition pour qu'il en soit

du Tz

ainsi, est en effet, d'après notre définition, que le rapport -j- soit déterminé, et c'est

ce qui a lieu nécessairement, puisque -^ l'est lui-même.

Si l'on suppose z = x +jV~ i , la partie réelle et la partie imaginaire tie

1/ se déduisent aisément de la définition précédente. Soit le =p -h <7v'— ' > on doit avoir

(3) x-\-y y' — I =«/'+»''-'=£=.'' (ces g +\/^^ sin (/),

et cette équation équivaut aux deux suivantes :

y= efsinq.

On en déduit

(5) e'P z= x'' -\- y'\ langg=;-

(■ - ) (7 = arc tane - i

I x- -+■ y^) est, bien entendu, le logarithme népérien ordinaire du nombre réel et

positif a-* -+- j*;arc tang — représente une infinité d'arcs. Soit aie plus petit d'entre

eux; il faut remarquer que, q étant défini par son 'sinus et par son cosinus, on peut ajouter à a un multiple de -in, mais non pas un multiple quelconque de f:, comme cela aurait lieu si l'on n'avait égard qu'à l'équation (7); on a donc enfin

Cf. étant le plus petit des arcs dont la tangente est — et ^ un nombre .entier arbitraire. F/équation

montre d'ailleurs, à priori, que l'on peut ajouter à l'exposant de e un multiple (|uelconque de inyj —\ sans changer la valeur de l'exponentielle, et qu'il est permis, par conséquent aussi, d'ajouter à un logarithme, un multiple quelconque de