I -i-x + r v* — I =p' (cosw-+- v' — • sin6i

p'et (t) sont les coordonnées polaires du point M, lorsque l'on prend pour pôle le point A, et OX pour axe, l'angle w pouvant, Lien entendu, être augmenté ou diminué d'un multiple do irr. On aura ,

« =p'"' (cosw -t^ v"— I sinw)'" = p'"' (cosmw-i-v' — i siii ww),

et il faut décider quelle valeur, dans celte expression, doit recevoir l'angle m. Or, en **

supposant 2 = 0, on a, par comention, a === 1 . On doit prendre, par conséquent, fi' = ^ , u = o; z changeant d'une manière continue, p' et w doivent varier aussj d'une manière continue, et il est évident que le point M ne sortant pas du cercle

de rayon unité décrit du point 0 comme centre, a^'este compris entre — - et + -,

ce qui dissipe toute ambiguïté.

Si le point auquel correspond la valeur de z pouvait se mouvoir librement sur le plan, la valeur correspondante de w variant d'une manière continue, pourrait iH

n'être plus comprise eçtre — ^ et H — «et tout en assignant à u la valeur -t- 1 ^

comme correspondant à la valeur initiale z = o, on devrait pour chaque valeur de z, y compris même z = 0 considéré comme valeur finale, regarder u comme indéterminé. H est clair en effet que dans l'expression

(i + z)" = p''" (coswio) + v' — 1 sinm»),

fj) = o correspondant, par convention, à la valeur initiale z = o, si le point du plan auquel correspond la valeur de z tourne autour du point A, o) qui est l'angle formé par le rayon vecteur AM avec l'axe AO recevra, à chaque révolution, un accrois- .senient égal à 2n. Si, par exemple, le chemin suivi pour aller de 0 en M est celui (|ue représente la figure

la continuité exige (|ue l'on prenne co égal à l'angle M.\0 augmenté de /{TT, et l'un 1. ^ 48

rs PnEMlÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. ,

aura, dans cette hypothèse, en posant MAO = a,

u= [i + 2 )" = p'"' [cos (ma -h 4 wn) + V^ — ï sin(ma + ^ miz)].

Si le point mobile revient en 0 après avoir fait une révolution autour de A, on aura

u^ C0S2nin + ^ — I sinamTT,

el l'hypothèse d'une valeur unique, u= + i, correspondant à s = o, est incompatible, par conséquent, avec la continuité de la fonction qui est essentiellement ambiguë si l'on ne limite pas, comme nous l'avions fait d'abord, les valeurs que peut prendre s.