Considérons enfin la fonction

qui, pour chaque valeur de z, a, par définition, une infinité de valeurs distinctes qui deviennent toutes infinies quand on suppose s = — i . Pour 3 = 0, on a

M = 1 I = 2 /l TT V^ I .

Prenons ^ = o et supposons, par conséquent, que, pour z = o, u se réduise à zéro.

Si z, partant de la valeur zéro, change d'une manière continue, et que la courbe dont les points représentent ses valeurs successives ne passe pas par le point qui correspond à z = — 1, les valeurs successives de 1(1+2) seront déterminées, et si l'on veut que z devienne égal à x, + y, \/— i , la valeur correspondante de u dépendra de la courbe par laquelle on aura réuni l'origine au point dont les coordonnées sont X,, y,, mais elle restera invariable si cette courbe se déforme sans traverser le point correspondant à z = — i , pour lequel toutes les valeurs de 1 ( i + a) sont infinies. Cette condition sera évidemment remplie si l'on assujettit, comme dans le cas précédent, le module de s à rester inférieur à l'unité. En adoptant cette convention, à chaque point intérieur au cercle de rayon unité décrit de l'origine comme centre, correspondra une valeur déterminée de u que nous allons calculer.

On a (370)

l(i+^-f-jv/:=T) = ^l[(.-f-j;')^+7'] + V'^a'-clang (-^

et il s'agit seulement de décider parmi les arcs dont la tangente est -—-^ ' quel est celui que l'on doit adopter. Or, par hypothèse, pour a; = o, / = o, on a

par conséquent arc tang ■ -^ doit être pris égal à zéro. Cela posé, ^ ^ ne pou-

vant pas devenir infini lorsque le point dont les coordonnées sont x et v reste dans l'intérieur du cercle, arc tang '* reste compris entre — - et + -, ce nui fait

disparaître toute ambiguïté.

Si, par exemple, on pose . *

x-)-)-^— I = cost-I- V—^sinç, on trouve aisément

1 i-+-cosç-f-v'— 1 sin<p) = I ±( 2cos^.i)j ± y^^arclang ( lang ^ ?] .

le signe ± qui précède cos ^ <p dans le premier terme, étant tel que le logarithme porte sur un nombre positif, et le coefficient de sj'^ étant compris entre — - et -f- -* La valeur la plus générale de arc tang f tang - y lest

et la valeur du nombre entier k, pour laquelle cette expression est comprise entre et -\ — est évidemment unique.

Si l'on n'apportait aucune restriction aux valeurs intermédiaires que a? et j peuvent prendre en passant des valeurs initiales iv = o, y = o à celles que l'on veut considérer, les conclusions précédentes ne seraient plus applicables; l'angle dont la

tangente est -^^ est l'angle formé avec l'axe des X par le rayon vecteur qui réunit

le point mobile au point fixe A, dont les coordonnées sont/ = o, œ= — i; si le rayon vecteur fait plusieurs révolutions autour de son origine fixe, l'angle augmentera d'un nombre égal de fois are. Si, par exemple, on suppose que les valeurs successivement attribuées à a; et assoient les coordonnées des points de la courbefermée indiquée sur la figure, qui part du point 0 et qui s'y termine,

la valeur initiale de I (i-f-s), correspondant àz = o, étant toujours supposée niillt

;{80 PREMIËRE PARTIE. - CALCUL DIFFERENTIEL.

lorsque z reprendra la valeur zéro après avoir reçu les valeurs intermédiaires

qui correspondent aux points de la courbe OMM'M'O, on devra prendre

arctang^^ — = /i 71, et l'on aura

La fonction 1 (f + 2), si l'on veut qu'elle soit continue, est donc essentiellement indéterminée, de même que (i-i-s)'", lorsque l'on n'impose aucune restriction aux valeurs que peut recevoir z.

Déi>eloppement en série des fonctions imaginaires .

378. Certaines fonctions imaginaires sont définies par les séries qui les réprésentent; telles sont les fonctions e^, sins, coss: celles-là sont développables pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, en séries ordonnées suivant les puissances de la variable z dont elles sont des fonctions continues, toujours finies et déterminées. Une définition analogue est impossible pour des fonctions telles que 1(14- s) et (i-i-z)'", dont les développements ne sont convergents que pour certaines valeurs de la variable, elle conduirait en effet à admettre que pour toutes les autres valeurs la fonction cesse d'exister.

Si l'on posait, par exemple, comme définition,

il faudrait regarder l(i + s) comme infini, et par conséquent la fonction comme cessant d'exister, pour toute valeur de. s dont le module surpasse l'unité. Il y aurait le même inconvénient à prendre comme définition de la fonction (1 + :;)'" la série connue qui la représente lorsque z est réel et moindre que l'unité.

On peut d'ailleurs reconnaître à priori que les résultats auxquels nous a conduit l'étude des fonctions, l(n-:;), (f-i-z)'", sont incompatibles avec l'existence d'une série ordonnée suivant les puissances de :; et représentant pour toute valeur de la variable, l'une ou l'autre de ces fonctions. La série, en effet, ne pourrait, pour cbaque valeur de 2, fournir qu'une seule valeur delà fonction, tandis que (376, 377 j les définitions en indiquent plusieurs qui sont inséparables les unes des autres.

On ne résoudrait pas la difficulté en supposant l'existence de plusieurs séries distinctes en nombre égal à celui des valeurs de la fonction, car cbacune d'elles représentant une fonction continue et déterminée, leur ensemble ne pourrait pas partager cette propriété singulière reconnue à la fonction, de no pouvoir être continue qu'à la condition d'échanger entre elles ses diverses valeurs, lorsque, après des variations, convenables, la variable reprend sa valeur primitive.

379. Lorsqu'une fonction est définie pourtoutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, on peut assigner des limites hors lesquelles son développement en série est impossible, il faut, pour qu'une fonction soitdéveloppable en série, qu'elle soit continue, finie et bien déterminée pour les valeurs de la variable dont le mo- <lule est moindre que le rayon du cercle de convergence de la série (261 ). La série ne peut devenir infinie pour une valeur de la variable sans l'être également (258) pour celles de module plus grand. Une fonction qui devient infinie pour une valeur parlirulière de la variable ayant un module R, ne peut donc être développable (jue pour dos valeurs, de module inférieur à R. Cette remarque s'applique à la dérivée de la fonction, car la dérivée d'une série convergente ordonnée suivant les puissances de la variable, est toujours convergente; ainsi, par exemple, arctangs,

ayant pour dérivée -,■> qui devient infinie pour s = y/ — i , ne peut être développable en série ordonnée suivant les puissances de z, que pour des valeurs de z dont le module ne surpasse pas l'unité.

.■)80. Pour qu'une fonction soit développable en série ordonnée suivant les puissances de la variable, il faut enfin qu'elle soit bien déterminée, c'est-à-dire qu'à cbaque valeur de la variable /jm/w ((iti ispondre une valeur unique de la fonction. Il semble au premier abord qu'il soit toujours possible de faire disparaître l'ambiguïté, en faisant un cboix entre les valeurs de la fonction, de manière à n'en laisser subsister qu'une seule pour chaque valeur de la variable; mais on a vu qu'une pareille convention est quelquefois incompatible avec la continuité de la fonction, (jui yst une condition non moins nécessaire de l'existence d'un développement. Pour cette raison, la fonction (i-f- z)"" , ne peut pas, d'après ce qui a été dit (376), être développée en série convergente pour des valeurs de z dont le module surpasse l'unité. Si l'on impose au contraire à z la condition do no rocovoir que des valeurs dont le module soit moindre que l'unité, aucune des conditions énoncées ne s'oppose à la possibilité d'un développementi qui dès lors, commo nous lo démontrerons dans le second volume, est possible et déterminé.

Développement de 1 (i -f-z).

381. .Nous pouvons dès à présont démontrer la légitimité du dovoloppomont de l(i -t-2; pour les valeurs réelles ou imaginaires do z dont lo module ost moindro que l'unité. On a, en effet, identiquement et quelle que soit la valom nclli; du imaginaire do ::,

Si le module de z est moindre que l'unité, celui do .-'" (oiul vors zéro, et par

^lik

conséquent, — !— ; est représenté par la série convergente.

"Il résulte de là que 1(1 + 2), dont la dérivée est —— 1 ne diffère que par une

constante de la série

dont la dérivée est le second membre de (2), et si l'on admet que, pour z = o, l(i -4-z) soit nul comme la série, on aura

qui se trouve démontrée pour toutes les valeurs de z dont le module est moindre que l'unité; l(n-z) dans cette formule est une fonction continue dez, et a par conséquent la valeur calculée (377); c'est la seule qui soit compatible avec la double condition imposée à la fonction, d'être continue et de s'annuler avec z.