On a trouvé
Bjx"
B,, Bj, B3,... étant les nombres de BernouUi dont la valeur a été donnée. Or on a (369)
roix = ij—i (iH -p^
Kn développant -—4 — à l'aide de la formule (1) dans hiquelle on cliange x
I 1 r • • , Il 2JCv'~ „ (aary/^)' Il
en 2X\ — \, Qi\ 2i
COtX:
:i!)0 PREMIÈRE PARTIR. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et en réduisant
il est facile de vérifier la concordance des premiers coefficients avec les valeurs numériques trouvées (304).
388. Le développement de cota; permet d'en obtenir plusieurs autres; on a
lang.r = cola: — 2 col 2 x.
cosecr = lang h cot.r,
et l'on en déduit
cosecx= - -h 22 — 1 x^— f- ha. i 5^— r- +•••,
nous trouverons plus loin les conditions de convergence de ces diverses séries.
389. Reprenons la fonction [i — 2az -h a-)~^ déjà considérée (315); remplaçons z par cos9, et cos5 par sa valeur
on aura, comme on le vérifie aisément,
(l — 2aCOs6 ■+- a'
) ' ^(,^^ôv^)-î (,„e-*v'-.)-J
En appliquant la formule du binôme à chacun des deux facteurs du second membre, on a
Soit P„ le coefficient de a" dans le produit de ces deux séries, on a, comme on le voit aisément,
— -— P„ = cosre9H ; -cosfw — 2)6
H ; -Ht ^, ces /e— 4 9-+--
la série qui figure dans le second nombre devant être prolongée jusqu'à ce que les termes deviennent égaux à zéro. Cette fonction P„ est ce que devient la fonction X„ définie (315), lorsqu'on y remplace x par cos6; tous les coefficients étant positifs dans le second membre de l'équation (2), on voit que l'hypothèse 0 = o lui fera acquérir sa valeur maxima; cette valeur est le coefficient de a" dans le développement de
Il est donc égal à l'unité, et puisqu'il est la valeXir maxima de P„, la fonction X„ est toujours moindre que l'unité lorsqu'on y suppose ce = cosô, c'est-à-dire quand on lui attribue une valeur quelconque comprise entre — 1. et -h i .
390. Supposons enfin une fonction j définie par l'équation (») langj=: ces a, langer.
Cherchons le développement de 7 en série ordonnée .suivant les puissances de lang^.
L'équation (ij équivaut à
= cosa
ou bien
= cosa
.•ixv/=7, , '
• gW-'4-,4.cosa(«'''v'->,)
rv'— T =: —
e -+■ tang'
■'^V — i j, — cosa
(e^W-.,) ianc;.fie^''/^-f-.
ou enfin
. a — a W— I I -I- lang' - e
, a 2 j-yCZT I -I- tang' - «
En prenant les logarithmes des deux membres et divisant ensuite piii >. ^ on en déduit
l(i-Mang'-« ^ 1 — l(i-4-lang'-e '
En réduisant les logarithmes en série et substituant aux exponentielles imaginaires leurs valeurs, on a enfin
lang' - lane" - X = x — tang' -sn\2x -\ sin4-a^ 5 — sinGjr -f- ....
EXERCICES
1. En représentant une expression imaginaire x-hy y' — i par le point du plan dont les coordonnées sont x et j, une équation quelconque F ( m, f ) = o établira une loi de déformation permettant de déduire du point représenté par la variable «, le point représenté par la valeur correspondante de v, et une figure plane quelconque aura sa transformée qui lui est semblable lorsque leurs dimensions sont infiniment petites.
