I TT
COS :5 + -r- ces -; H : COS -
COS 1: est égal à -? et la série
fis —
représentant (1-1-1)='» c'est-à-dire va, cette série est égale à - v'2 , et les deux
membres de l'équation d'Eulersont par conséquent inégaux. Mais à cette objection sans réplique Poisson ne joignit pas l'énoncé de la formule exacte, qui fut donnée pour la première fois par Poinsot.
Si dans l'éqiialion ( 5 ) on suppose »i = ^> x = n,'\\ faut prendre k = i, puisque
n est compris entre ;: — -et tt -<- -» et donner le signe — à cosa; qui est négatif; le
premier membre se réduit donc à
(2)" COS^w,
c'est-à-dire à - Va . et l'on voit qu'il est égal au second.
Il faut bien remarquer que la série
, , nUm — I ) , , ,
cosm.r-4- mcos(w? — 2)x -\ -cos[m — 4)-'^"+"- • •
est une fonction discontinue dex, et qu'elle cliange brusquement de valeur lorsque x croissant d'une manière continue passe par une valeur de la forme
kn-^ -> car à ce moment il ûuil, dans le premier membre, augmenter l'entier k
d'une unité.
Si l'on suppose J" précisément égal à ^tt-i- -» tous les cosinus qui figurent dafîs
la série deviennent alternativement égaux à cosmx et à — cosmx, et la série devient
m(m — 1) mim— i] (m — 2) "1
cosm*-
série convergente et égale à zéro si m est positif et divergente si m est négatif.
L'équation (5) peut donc être regardée comme exacte, car la valeur attribuée à X donne cosa; = o; (cosa;)'" est donc nul si m est positif, et infini s'il est négatif.
385. Si dans les formules (5), (6).- (7) et (8) du paragrapbo précédent on attribue à m une valeur entière, les seconds membres se réduisent à un nombre limité de termes. Considérons la première
( I ) (±:2COsar)"cosm/rjr = ces mx -t» m cos ( m — y.)x -\-
mtm —
1^ ces (m — 4)^-^
Si l'on suppose que m y désigne un nombre entier pair, an, cosmkn est égal a l'unité, et en supprimant dans le second nombre les termes qui sont nuls, et remarquant que le signe ± placé dans le premier membre est sans influence snr sa valeur, on a
(2cosj:)*' = cos2/ix ■+■ 2ncos(art — 2)x-)-
2 rt(2n-
cos(3n — 4)x-h. . .
2«(an-i)...(n-hi) ^. . .4.^^005 [2«-(4«'-i)x]+ cos(a»-i »Vr.
et comme les termes également distants des extrêmes sont égaux
( 2 cos^r )'" = 2 ces 2 M.r 4- 2 ( 2 « ) cos ( 2 n — 2 ) jT + 2 • ' ^ ' — ^ cos ( 2 « — 4 ) a; ■
le dernier terme étant le seul qui,' ne se trouvant qu'une fois dans l'équation (aj, ne doit pas être doublé.
Si dans la formule (5) on remplace /n par un nombre entier impair (aw-l-i), (•oswy{-;r est égal à -i-i, siA est pair, et à — i s'il est impair; mais dans le premier cas cos X est positif et il faut prendre le signe 4- dans la parenthèse du premier membre ; dans le second il est négatif et il faut adopter le signe — : le premier membre se réduit donc toujours à (acosa?)-""^', et l'on a, en supprimant les termes nuls dans le second membre et remarquant que les termes également distants des extrêmes sont égaux,
(2C0SiC)'"+' = 2 cos (2/1 + l).r+2(2/i4-l) COS(2 7t l)x-l-2 — cos{2« — 3)^+...
De même en supposant m entier dans les formules (7 ) et ( 8), on trouvera
2^"(— i)"sm"a7=: 2cos2n.r — n.-}.n cos(2rt — 2) x +- 2. - — ^^ cos (2/1 — 4)^- • •
, , in (in — I ) . . . ( n -I- I )
2'"+i( — i)"sin^"+'j: = 2sin(2/t -\-i]x — 2(271 + i)siii(2 7i — \]x-\-. . .
+ — I " . 2 ■ — sin X.
Ces formules étant souvent utiles, nous donnons ici les valeurs numériques des coefficients pour les cas les plus simples ; on a :
2 cos'.r = C0S2 jr + i ,
4 cos'^r := cos 3 jr -t- 3 cos-c,
8cos'.r := cosi^x-j-^cos2x-\- 3, iGcos'a; = cos5.r + 5cos3x + 10 cosx, 82 cos'^x = cos6x -|-6cos4.y -+- '5 cos2j: + 10, 64cos'a;= C0S7^-(- 7 cos5.r + 2! cos3j7-)- 35 cosjr, i28cos'j7 = cos8x-f-8cos6x -4-280054^^+ 56 c()S2.r + 35,
— 2sin'.r = cos2.r — i,
— 4sin'.r = sin3jr — 3sinr,
-|- 8sin'a:== 0054.'^ — 4cos2,r-j- 3,
i6sin*.r=sin5.r — 5 sin 3x + 10 sinar, — 32 sin'^x = cos6a: — 6 cos 4 1' -1- '5 cos2 jr — 10, — 64sin'x=:sin7a; — 7Sin5.r4-2i sin3.r — 35sin.r, 1 28 sin' a; = cos 8a; — 8cos6ar-H 28cos4.^ — 56cos2x. '
38(5. Remarquons enfin que la série (5) ne peut être convergente que si les coelticients du second membre tendent vers zéro, et il faut pour cela (284) que m -i- i soit positif Si, par exemple, on fait w = — i, ra = — 2, on obtient les formules
= 2(cosar — co.s3x-|-cos5x — COS7X +...),
COSJT
cos'.r
2(cos2jr — 2cos4^+ ScosGjt — 4cos8a: H-. .),
formules évidemment absurdes et qui cependant ont été adoptées par quehiues géomètres.
Si dans la formule générale (383) on faitm = — 1, on en déduit
— — =i i -1-p (cosç-f- V — ' siny)-)-p'(cos2^-|- y/ — 1 siii • yj 4-. . . ;
I — pcosy — p v^ — I sin<y
(Il multipliant les deux termes de la fraction qui forme le premier membre par I — (jcos'jj + p V— I sin'f pour rendre le dénominateur réel, et égalant ensuite les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres, on a
1 — p r-osç
• 2pC0Sif -t-p' psin?
-HpCOScy -+-p'C0S2(p -f-p»cos3ç -H. . .,
^ = psiny-+- p'sln2tp + p'sin39-
I — 2pC0Sif -I- p'
qui ont lieu pour toutes les valeurs de p moindres que l'unité.
Quelques développements en série déduits de- la considération des fondions
imaginaires .
