Reprenons la formule

cet x= — h

X jc-f-a; TT — X 2r -h X m' — x on a ^387)

(2) cotjr= X x^~... —^ — i:2''-|.

et évidemment pour toute valeur de k,

IX l x"- jr*

■ + -rr-, -I- ■

fff-l-x hit — X h'n' — x' A'jr' \ /rjr' A

ir"

Il est donc facile de développer le second membre de l'équation [i) en série ordonnée suivant les puissances de x, et l'on obtient, en égalant les coefficient.s de x*""' ,

1 412. La formule précédente donne l'expression approchée des nombres de

Uernouili lorsque l'indice n devient un peu considérable. En effet, le second membre de l'équation (3) diffère fort peu de l'unité et l'on a, avec une erreur relative d'autant moindre que n est plus grand,

On voit que les nombres de Bernoulli croissent avec une très-grande rapidité. Il h résulte de l'équation (4) que dans la série

s 1.2 1.2.3.4 I . ?. . 3 . . 2 rt

x' If rapport d'un terme au précédent a pour limite f-,- Cette série, qui représente

-,3-1 devient donc divergente pour les valeurs de x supérieures à a;r; cela est

d'accord avec ce qui a été dit (378). La fwnction -7^— • est en effet infinie pour

■r — 37r y/— I, et ne peut par conséquent pas être développable en série ordonnée suivant les puissances de x pour les valeurs dont le module surpasse 271.