Lorsque a- sur pa.sse 17:, la formule

X X . B,x' B,ar'

ii'2 PRIiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

cesse d'être applicable; on peut néanmoins démontrer qu'en arrêtant le développement à un terme quelconque, l'erreur commise est moindre que le terme suivant. La série trouvée (409) pour cot x donne

(?,) I — xco\.x=ix'

l'équation dont on l'a déduite étant applicable aux valeurs imaginaires de x, nous pouvons y remplacer x par - \/— i ; elle devient alors, si l'on divise les deux membres par — X-,

^ ' xyi — e-'^x^^) ~^ \x'-h^TT''^ x''-+- i6tz' '^' ■ '"''x'-|-4rtV^ + • • • j mais on a pour toute valeur de x

1 I r ^' x' , , Qx-'" 1

x'+^n^Tt' 4«'7r2L in'7:' (/in'n')' '^ ^ ' {^n'Tr^)'" ]

s étant moindre que l'unité; en remplaçant chaque terme de la formule (3) par son développement et remarquant que

0 désignant toujours un nombre indéterminé compris entre zéro et l'unité, on aura

Mais on a

[ n' jf i .1.3 . . .2p et, par conséquent,

jTl ■ By

^.Zd (4«2,v')'' " i.a.3. . .ip' la formule (4) devient donc

I / I I i\ B, B, Bi

Si l'on multiplie les deux membres par x- et que l'on change a; en — x, on trouve enfin

'^' • 2 1.2 1.2.3 4 1 .2 3. . .2/1 "•" " I .2.3. . .2rt-|--2

\lVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Ii3

le dernier terme du second membre augmente indéfiniment lorsque x est plusgrand que in, mais la formule est exacte quel que soit x.